2009　関西大　文・商・政策創造2月2日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$3$辺の長さがどれも整数である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=c\text{，}\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b$とすると，$c>a>b$が成立しているとする．また，この直角三角形の周の長さは${\displaystyle \frac{ab}{2}}$になるとする．このとき，$c$は$a$と$b$を用いて

$c=\boxed{\text{①}}$

と表される．$▵\mathrm{ABC}$が直角三角形であることにより$a$と$b$との間には

$4(a+b)-ab=\boxed{\text{②}}$

という関係がある．以上から$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めると

$a=\boxed{\text{③}}\text{，}b=\boxed{\text{④}}\text{，}c=\boxed{\text{⑤}}$

あるいは

$a=\boxed{\text{⑥}}\text{，}b=\boxed{\text{⑦}}\text{，}c=\boxed{\text{⑧}}$

のどちらかである．ただし，$\boxed{\text{④}}<\boxed{\text{⑦}}$であるとする．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$(x^2+y^2-4y)(x^2+y^2-10y+24)\leqq 0$の表す領域を図示せよ．

(2)　$x\text{，}y$が(1)の不等式を満たすとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　$x$に関する$2$次方程式$x^2+ax+5-a=0$は，ある実数$b$を用いて，${\log }_{2}b$および${\log }_4{\displaystyle \frac{b^3}{2}}$と表される$2$つの解をもつという．次の問いに答えよ．

(1)　$t={\log }_{2}b$とおく．このとき，${\log }_4{\displaystyle \frac{b^3}{2}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　$a$および$b$の値を求めよ．