2009　関西大　総合情報学部2月4日実施MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}=120°$である．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線が$▵\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{Q}$とする（ただし，$\mathrm{Q}\ne \mathrm{A}$である）．線分$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$が交わる点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$\mathrm{AC}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABP}\text{，}▵\mathrm{APC}\text{，}▵\mathrm{ABC}$のそれぞれの面積を考えることにより，$\mathrm{AP}$の長さを$b$と$c$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABP}$と$▵\mathrm{AQC}$は相似であることを示せ．

(3)　$\mathrm{AQ}$の長さを$b$と$c$を用いて表せ．

【２】　整式$f(x)$は$x-1$で割ると余りが$3$である．また，$f(x)$を$x^2+x+1$で割ると余りが$4x+5$である．このとき，$f(x)$を$x^3-1$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　サイコロを$3$回ふって出た目の数を順に$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3$とする．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$r_1=1\text{，}{r}_1<r_2<r_3$となる確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$r_1<r_2<r_3$となる確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$3$つの数の積$r_1{r}_2{r}_3$が$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$r_1+r_2+r_3$が偶数となる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$r_1+r_2+r_3$が$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$3$次関数のグラフ

$C_1:y=f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c\text{（}a\text{，}b\text{，}c\text{は定数）}$

と$2$次関数のグラフ

$C_2:y=g(x)={(x-1)}^2$

がある．$C_1$と$C_2$は$2$つの共有点$\mathrm{P}(-2,9)$と$\mathrm{Q}(2,1)$をもつ．さらに，点$\mathrm{Q}$において$C_1$の接線と$C_2$の接線は一致する．このとき，

$a=\boxed{\text{①}}\text{，}b=\boxed{\text{②}}\text{，}c=\boxed{\text{③}}$

であり，$|f(x)-g(x)|$は$-2\leqq x\leqq 2$の範囲で，$x=\boxed{\text{④}}$のとき最大値$\boxed{\text{⑤}}$をとる．