2009　関西大　文系学部2月6日実施MathJax

【１】　$k$を定数とする．不等式

$x^2-8+7<0\cdots \text{(ⅰ)，}|x-k|<2\cdots \text{(ⅱ)}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　(ⅰ)の不等式を解け．

(2)　(ⅱ)の不等式を解け．

(3)　(ⅰ)と(ⅱ)をともに満たす実数$x$が存在しないような$k$の値の範囲を求めよ．

(4)　(ⅱ)を満たす$x$は(ⅰ)を満たすような$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると

$S_n=-3a_n+n^2-5n+8$

が成立するという．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_1=\boxed{\text{①}}$であり，$n\geqq 2$のとき$a_n$は$a_{n-1}$と$n$を用いて$a_n=\boxed{\text{②}}$と表される．

(2)　定数$p\text{，}q$を$p=\boxed{\text{③}}\text{，}q=\boxed{\text{④}}$と定め，$b_n=a_n+pn+q$とおくと，$\{b_n\}$は公比が${\displaystyle \frac{3}{4}}$の等比数列になる．また，このとき，$b_n$は$n$を用いて$b_n=\boxed{\text{⑤}}$と表される．したがって，$a_n$は$n$を用いて$a_n=\boxed{\text{⑥}}$と表されることがわかる．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=-2^{x-1}$のグラフをかけ．

(2)　$a$を正の定数とするとき，$y=x^2-2x-a+1$のグラフと$x$軸で囲まれる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた面積が$S=2$であるとき，領域$S$と(1)のグラフは共有点をもつことを示せ．