2009　関西大　全学部日程総合情報学部2月8日実施MathJax

【１】　$xy$平面において，不等式

$3x^2+7xy+2y^2-9x-8y+6\leqq 0$

の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+y^2$の最小値を求めよ．

【２】　$3$次関数のグラフ$y=f(x)=x(x-a)(x-b)$がある．ここで，$a\text{，}b$は定数で，$0<a<b$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の$x=0$における接線を$l\text{，}x=a$における接線を$m$とするとき，$l\text{，}m$の方程式を求めよ．

(2)　$x$軸と$l\text{，}m$の$3$本の直線が囲む三角形の面積を$S$とするとき，$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$ab=1$であるとき，$S<{\displaystyle \frac{1}{10}}$であることを示せ．

【３】　右図のような正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点上を，頂点$\mathrm{A}$から出発して，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\cdots$の順に左まわりに移動する$1$つの点$\mathrm{P}$がある．サイコロをふって出た目の数だけ点$\mathrm{P}$を左まわりに移動させる．すなわち，$1$回目にふったとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$を出発して，出た目の数だけ左まわりに進んで${\mathrm{P}}_1$に移り，$k\text{（}k\geqq 2\text{）}$回目にふったとき，$\mathrm{P}$は${\mathrm{P}}_{k-1}$から出発して，出た目の数だけさらに進んで${\mathrm{P}}_k$に移動するものとする．たとえば，$1$回目に$3\text{，}2$回目に$2$が出たとき，${\mathrm{P}}_1=\mathrm{D}\text{，}{\mathrm{P}}_2=\mathrm{B}$となる．

　このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1={\mathrm{P}}_2$となる確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$が隣り合う確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　${\mathrm{P}}_2=\mathrm{A}$となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　${\mathrm{P}}_2=\mathrm{B}$となる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　${\mathrm{P}}_3=\mathrm{A}$となる確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$▵\mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形で$\angle \mathrm{A}=90°$である．辺$\mathrm{BC}$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{PAQ}=45°$となるようにとる．ただし，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{C}$この順に並んでいる．

　$\mathrm{BP}=a\text{，}\mathrm{PQ}=t\text{，}\mathrm{QC}=b$とすると

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(a+b+t)$

である．$▵\mathrm{ABP}$に余弦定理を使い，${\mathrm{AP}}^2$を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表すと，

${\mathrm{AP}}^2=\boxed{\text{①}}$

である．$▵\mathrm{APQ}$と$▵\mathrm{CPA}$は$2$つの角が等しいことにより相似であり，このことより${\mathrm{AP}}^2$を$b\text{，}t$のみを用いて表すと，

${\mathrm{AP}}^2=\boxed{\text{②}}$

となる．$\boxed{\text{①}}$と$\boxed{\text{②}}$は等しいから，$t^2$を$a\text{，}b$を用いて表すと，

$t^2=\boxed{\text{③}}$

となる．

　ここで，$\mathrm{BC}=1$とすると，$a+b=1-t$であり，かつ$t^2=\boxed{\text{③}}$より，$ab$を$t$を用いて表すと，

$ab=\boxed{\text{④}}$

である．したがって，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$\angle \mathrm{PAQ}=45°$を保ちながら，辺$\mathrm{BC}$上を動くとき，$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$であるから，$t$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{⑤}}\leqq t\leqq \boxed{\text{⑥}}$である．