2009　関西大　後期　文系学部3月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

　連立不等式

$\{\begin{array}{l}|y-x|\leqq 3\\ |y-5x|\leqq 5\end{array}\cdots$(ア)

の表す領域を$A$とすると，$A$は$4$点$({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{5}{2}})\text{，}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},\boxed{\text{①}})\text{，}(2,\boxed{\text{②}})\text{，}(-2,\boxed{\text{③}})$を頂点とする平行四辺形の周および内部である．$k$を定数として，直線$l:x+y=k$が領域$A$と共有点をもつような$k$の範囲は$\boxed{\text{④}}\leqq k\leqq \boxed{\text{⑤}}$である．したがって，$x\text{，}y$が連立不等式(ア)を満たすときの$x+y$の最大値は$\boxed{\text{⑤}}$であり，そのときの$x\text{，}y$の値は$x=\boxed{\text{⑥}}\text{，}y=\boxed{\text{⑦}}$である．

【２】　座標平面の原点を$\mathrm{O}(0,0)$とし，円$x^2+y^2=1$の上の点$\mathrm{P}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$と点$\mathrm{Q}(\cos \beta ,\sin \beta )$における接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．ここで，$\alpha \text{，}\beta$は$0<\beta <\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数である．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$l_1$の方程式は$y=\boxed{\text{①}}x+\boxed{\text{②}}$であり，$l_1$と$l_2$との交点を$\mathrm{R}(x_1,y_1)$とすると，

$x_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}}{\sin (\alpha -\beta )}}\text{，}{y}_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{④}}}{\sin (\alpha -\beta )}}$

と表すことができる．とくに，$\alpha -\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たすとき，${\mathrm{OR}}^2=\boxed{\text{⑤}}$であり，四角形$\mathrm{OPRQ}$が内接する円の面積は$\boxed{\text{⑥}}$となる．

【３】　放物線$C:y=x(2-x)$と直線$l:y=(m+2)x$は$0<x<3$の範囲で交わるという．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$m$が存在する範囲は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$m$が(1)で求めた範囲にあるとき，$C$と$l$とで囲まれた領域の面積を$S_1$とし，$C\text{，}l$および直線$x=3$で囲まれた領域の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}{S}_2$を$m$を用いて表すと$S_1=\boxed{\text{②}}$であり，$S_2=\boxed{\text{③}}$である．また，$S_1+S_2$の最小値は${\displaystyle \frac{9}{2}}(\boxed{\text{④}})$であり，このときの$m$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．