2009　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．すなわち，

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$

である．初項$a_1=1$であり，かつ

$S_{n+1}={(-1)}^n-S_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$

が成立している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}{S}_4$をそれぞれ求めよ．

(2)　項$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$をそれぞれ求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　$a$を定数とする$3$次関数

$f(x)=x^3-3(a+2)x^2+9(2a+1)x-2a^2-24a+1$

がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(1)\geqq 0$となる$a$の範囲を求めよ．

(2)　$x\geqq 1$であるすべての$x$について$f(x)\geqq 0$となる$a$の範囲を求めよ．

【３】　つぼの中に白球が$6$個，赤球が$4$個，合計$10$個の球が入っている．つぼの中をよくかき混ぜて，同時に$4$個の球を取り出す．このとき，次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　取り出した球がすべて白球である確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　取り出した球が白球$2$個，赤球$2$個である確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　つぼの中に残っている白球と赤球の個数が等しくなる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　取り出した球に白球と赤球の両方が含まれている確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　取り出した白球の個数の期待値は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

　$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=9\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{CA}=7$である．$\angle \mathrm{B}$の大きさを$B$で表す．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．ここで，$\mathrm{BH}=p\text{，}\mathrm{CH}=q\text{，}\mathrm{AH}=h$とおくと，

$p^2+q^2=81\text{，}{q}^2+h^2=49\text{，}p+q=8$

であることから，$p=\boxed{\text{①}}\text{，}h=\boxed{\text{②}}$である．

　$▵\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$の中心を$\mathrm{I}$とする．ここで，$▵\mathrm{AIB}\text{，}▵\mathrm{BIC}\text{，}▵\mathrm{CIA}\text{，}▵\mathrm{ABC}$のそれぞれの面積を考えることにより，円$C_1$の半径$r_1$は

$r_1=\boxed{\text{③}}$

である．

　$\tan B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{\boxed{\text{①}}}}$であるから，$\tan {\displaystyle \frac{B}{2}}=\boxed{\text{④}}$である．

　また，$▵\mathrm{ABC}$の内部にあり，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の両方に接し，かつ円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき，円$C_2$の半径$r_2$は

$r_2=\boxed{\text{⑤}}$

である．