Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2009年度一覧へ
大学別一覧へ
関西大学一覧へ
2009-14991-1601
2009 関西大学 後期
システム理工・環境都市工・
化学生命工学部
3月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 3 次方程式 x3 -q⁢ x+r= 0 が,正の 2 重解 α をもつとする.次の をうめよ.
(1) 上の方程式のもう一つの解を α を用いて表すと ① である.また q ,r を α を用いて表すと q= ② , r= ③ である.
(2) 定数 a ,b を a= ④ , b= ⑤ とすると
a⁢log 3⁡q +b⁢ log3⁡ ( r2 ) =3
が α の値に関係なく成立する.
(3) α 自身も q⁢ r も自然数となる場合を考える.このような α を,値の小さいものから順に並べてできる数列を a 1, a2 , ⋯ とする.一般項 an は ⑥ である.
2009-14991-1602
【2】 x≧0 において, x の関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=8⁢ ∫0x 2⁡ (t-t 2)⁢ e-2 ⁢t⁢ dt
で定義する.次の をうめよ.
不定積分 I= ∫ ⁡te -2⁢ t⁢d t とおくと,
∫ ⁢t2 ⁢e -2⁢t ⁢dt =-e -2⁢t ⁢( ① )+I
とかける.よって, f⁡(x ) は x を用いて,
f⁡(x )= ②
と表せる. f⁡(x ) の導関数 f′ ⁡(x ) は,
f′ ⁡(x) =x⁢ e-x ( ③ )
であるから, x= ④ のとき, f⁡(x ) は極大値 ⑤ をとる.いま k は定数とする. x≧0 であるすべての x に対して,
x2- k⁢e x≦0
が成り立つような k の最小値は ⑥ である.
2009-14991-1603
【3】 x の関数 f⁡ (x) を f⁡ (x)= e-x ⁢sin ⁡x とおく.
次の をうめよ.
f⁡(x ) の導関数は f′ ⁡(x )=2 ⁢e -x⋅ sin⁡( ① ) である.区間 [2⁢ n⁢π, 2⁢(n +1)⁢ π] (n =0 ,1 , 2 ,⋯ ) において, f⁡( x) が最大値をとる x を a n , 最小値をとる x を bn とすると
an= ② , bn= ③
であり,そのとき
f⁡(a n)= ④ ,f ⁡(b n)= ⑤
である.また
∑n= 0∞ ⁡ f⁡( an )-f ⁡( bn) an -bn = - 22⁢ π⋅ ⑥ eπ -1
である.
2009-14991-1604
【4】 次の をうめよ.
(1) 座標平面上の点の移動 f を直線 y= - 12⁢ x に関する対称移動とする. f を表す行列は ① である.
2009-14991-1605
(2) 空間内の 2 点 A= (-5, 1,7) と B= (x,y ,z) について,線分 AB を 2: 1 に内分する点の座標が (1, 3,5) であるとき, (x, y,z) = ② である.
2009-14991-1606
(3)
3 -x( x+1) ⁢(x 2+3 )= ax+ 1+ f⁡(x )x2 +3
を満たす実数 a と 1 次式 f⁡ (x) が存在する.これらを求めると, a= ③ ,f⁡ (x) = ④ である.よって,定積分
∫01 ⁡ 3-x (x+ 1)⁢ (x2 +3) ⁢ dx
の値は ⑤ である.
2009-14991-1607
(4) limx→ 0 loge⁡ (1+x )-log e⁡( 1-x) x= ⑥ である.