2009 関西大 後期 理系学部3月4日実施MathJax

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2009 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】  3 次方程式 x3 -q x+r= 0 が,正の 2 重解 α をもつとする.次の   をうめよ.

(1) 上の方程式のもう一つの解を α を用いて表すと である.また q r α を用いて表すと q= r= である.

(2) 定数 a b a= b= とすると

alog 3q +b log3 ( r2 ) =3

α の値に関係なく成立する.

(3)  α 自身も q r も自然数となる場合を考える.このような α を,値の小さいものから順に並べてできる数列を a 1 a2 とする.一般項 an である.

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易□ 並□ 難□

【2】  x0 において, x の関数 f (x)

f(x )=8 0x 2 (t-t 2) e-2 t dt

で定義する.次の   をうめよ.

 不定積分 I= te -2 td t とおくと,

t2 e -2t dt =-e -2t ( )+I

とかける.よって, f(x ) x を用いて,

f(x )=

と表せる. f(x ) の導関数 f (x ) は,

f (x) =x e-x ( )

であるから, x= のとき, f(x ) は極大値 をとる.いま k は定数とする. x0 であるすべての x に対して,

x2- ke x0

が成り立つような k の最小値は である.

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易□ 並□ 難□

【3】  x の関数 f (x) f (x)= e-x sin x とおく.

 次の   をうめよ.

  f(x ) の導関数は f (x )=2 e -x sin( ) である.区間 [2 nπ, 2(n +1) π] n =0 1 2 において, f( x) が最大値をとる x a n 最小値をとる x bn とすると

an= bn=

であり,そのとき

f(a n)= f (b n)=

である.また

n= 0 f( an )-f ( bn) an -bn = - 22 π eπ -1

である.

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【4】 次の   をうめよ.

(1) 座標平面上の点の移動 f を直線 y= - 12 x に関する対称移動とする. f を表す行列は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2) 空間内の 2 A= (-5, 1,7) B= (x,y ,z) について,線分 AB 2: 1 に内分する点の座標が (1, 3,5) であるとき, (x, y,z) = である.

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【4】 次の   をうめよ.

(3)

3 -x( x+1) (x 2+3 )= ax+ 1+ f(x )x2 +3

を満たす実数 a 1 次式 f (x) が存在する.これらを求めると, a= f (x) = である.よって,定積分

01 3-x (x+ 1) (x2 +3) dx

の値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  limx 0 loge (1+x )-log e( 1-x) x= である.

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