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2009 関西学院大学 理工学部F方式

2月1日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(1) 多項式を因数分解するとき,係数は整数の範囲で考えるものとする.

  a2+ 3a b+2 b2+ 2a+ 5b- 3 8 a3 -125 b3 をそれぞれ因数分解すると

a2+ 3a b+2 b2+ 2a+ 5b- 3= 8 a3- 125b 3=

となる.

 また, (a+b +c) (a2 +b 2+ b2- ab- bc- ca ) を因数分解すると

(a+b +c) (a2 +b 2+ c2- ab- bc- ca) =

となる.このことより, a3- 6a b+8 b3+ 1 1 次式と 2 次式の積に因数分解できて,その 1 次式は である.

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2月1日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.ただし, (x ,y) の形で答えよ.

(2) 原点を O とする座標平面に点 A (3 ,1 ) と点 B があり, OAB は直角三角形をなすとする.もし B が第 2 象限にあり AOB が直角ならば, B の座標は であり, OAB の面積は である.また,もし B が第 1 象限にあり OBA が直角ならば, B の座標は であり, OAB の面積は である.

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2月1日実施

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【2】 座標空間内に 3 A (- 1,-1 ,-1 ) B(1 ,1,0 ) C( 8,2 ,2) がある.また, A C と点 D (5 ,y,z ) 3 点は一直線上にある.点 C から直線 AB に垂線を下ろし,直線 AB との交点を H とする.次の問いに答えよ.

(1)  y z の値を求めよ.

(2)  H の座標を求めよ.

(3)  3 A B C が定める平面の上に点 E がある.線分 EH は直線 AB に垂直で,線分 CH と長さが等しい.このとき点 E の座標を求めよ.ただし, E C とは異なる点とする.

(4) 直線 AB 上を動く点 P に対して, 2 本の線分 CP PD の長さの和を L とする. L の最小値とそのときの点 P の座標を求めよ.

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2月1日実施

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【3】  f(x )=e -x cos x とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)  x>0 の範囲で方程式 cos x= 0 を解くと,解は小さいものから順に x =a1 a2 a3 となる.このとき, a1 を求めよ.さらに,一般に正の整数 j に対して a j を求めよ.

(2) 不定積分 f (x) dx を求めよ.必要なら部分積分法を何度でも用いよ.

(3)  n が正の整数のとき, xy 平面において連立不等式

y0 yf (x ) a2 n x a2 n+ 1

の表す領域の面積を S n とする.このとき, Sn n=1 S n を求めよ.

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2月1日実施

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【4】 表が出る確率が p 0< p<1 であるようなコインを投げる試行を繰り返す.最初の持ち点を 0 点とし,表が出るたびに持ち点に 1 点ずつ加えていく.裏が出たときは持ち点を変えないものとする.次の問いに答えよ.

(1)  2 回目の試行が終わったときの持ち点が 0 点, 1 点, 2 点である確率をそれぞれ a b c と表す.これらを p で表せ.また, a+b +c を求めよ.

(2)  n 2 以上の整数とする. n 回目の試行が終わったときの持ち点が 2 点である確率を P (n ) と表す. P( n) p n で表せ.

(3)  n 3 以上の整数とする. n 回目の試行で初めて持ち点が 3 点になる確率を Q (n) と表す. Q( n) p n で表せ.

(4)  n 2 以上の整数とする. 2n 回目の試行で初めて持ち点が n 点になる確率を R (n ) と表す.また,持ち点が 3 回目に初めて 1 点になり 2 n 回目に初めて n 点になる確率を S (n ) と表す.このとき, lim n S( n) R( n) を求めよ.

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