2009　関西学院大　文系学部Ｆ方式2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$3$次式$2a^3-5a^2+a+2$は

$(2a+\boxed{\text{ア}})(a-\boxed{\text{イ}})(a-\boxed{\text{ウ}})$

と因数分解でき，$(2a+\boxed{\text{ア}})(a-\boxed{\text{イ}})+(a-\boxed{\text{ウ}})=2a^2-3$となる．$a$を定数とするとき，$x$の$2$次不等式

$x^2+(3-2a^2)x+(2a^3-5a^2+a+2)<0$

の解は$\boxed{\text{エ}}<x<\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君にはいずれも$40$ポイントが与えられていて，次のような硬貨投げゲームを行う．表が出れば$\mathrm{B}$君のポイントのうち$10$ポイントが$\mathrm{A}$君に移動し，裏が出れば$\mathrm{A}$君のポイントのうち$10$ポイントが$\mathrm{B}$君に移動する．$\mathrm{A}$君または$\mathrm{B}$君のポイントがなくなればゲームは終了とする．ただし，この硬貨投げでは表と裏はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出るとする．

　$n$回目の硬貨投げの結果，$\mathrm{A}$君のポイントがなくなりゲームが終了する確率を$p_n$とすると$p_4=\boxed{\text{カ}}\text{，}{p}_5=\boxed{\text{キ}}\text{，}{p}_6=\boxed{\text{ク}}$である．また，$6$回目かそれ以前でゲームが終了する確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　実数$x\text{，}y$は$x>0\text{，}y>0\text{，}x+2y=8$を満たしているとする．このとき，${\log }_{10}x+{\log }_{10}y$は$(x,y)=\boxed{\text{ア}}$で最大値$\boxed{\text{イ}}$をとり，${\log }_{10}x+2{\log }_{10}y$は$(x,y)=\boxed{\text{ウ}}$で最大値$\boxed{\text{エ}}$をとる．ただし，$\boxed{\text{ア}}$，$\boxed{\text{ウ}}$は$(a,b)$の形で答えよ．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$n$を$2$以上の正の整数とする．$S_0$円のお金を$4$月$1$日から$n$年間銀行に預けることにする．お金を預けた時点で$A$円の手数料を預金額から差し引かれ，次の年から毎年$4$月$1$日に$A$円の手数料を預金残高から差し引かれるが，毎年$3$月$30$日に預金残高に対して利率$r$の利子がつく．ただし，$S_0>nA$とし，$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$年目の$3$月$31$日の預金残高を$S_k$円とする．預金残高の増加分$S_1-S_0$を$S_0\text{，}A\text{，}r$で表すと$\boxed{\text{オ}}$となる．また，$k\geqq 2$に対して$S_k-S_{k-1}$を$S_{k-1}\text{，}A\text{，}r$で表すと$\boxed{\text{ カ}}$となるので，$S_k$が年とともに増加するための必要十分条件は$S_0\text{，}r\text{，}A$の間に$S_0>\boxed{\text{キ}}$の関係が成立することである．$S_n$を$n\text{，}{S}_0\text{，}A\text{，}r$で表すと$S_n=\boxed{\text{ク}}{S}_0+\boxed{\text{ケ}}A$である．ただし，$\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$は$r$と$n$ で表された式である．

【３】　$xy$平面において，放物線$C:y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$（ただし，$p<q$）がある．次の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線の方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を$p\text{，}q$で表せ．

(3)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$\mathrm{PQ}=1$を満たしながら放物線$C$上を動くとき，$p+q=\tan \theta (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおいて$S$を$\theta$で表せ．

(4)　小問(3)の条件の下で，$S$の最大値とそのときの$p\text{，}q$の値を求めよ．