2009　関西学院大　理工・教育学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$s=\sin x\text{，}t=\cos x$とおく．$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)$と$\cos 3x$は$s$と$t$の多項式を用いて

$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)=\boxed{\text{ア}}\text{，}\cos 3x=\boxed{\text{イ}}$

と表せる．ただし，$\boxed{\text{ ア}}$と$\boxed{\text{ イ}}$はともに，$t$で割り切れる多項式で，$t$で割ると$s$だけの多項式になる．

　$\alpha =\boxed{\text{ウ}}$とおくと${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2\alpha =3\alpha$であり，$\sin \alpha =\boxed{\text{エ}}$が成り立つ．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　さいころを繰り返し投げる試行を行い，その結果によって次のようにポイントを決めていく．最初のポイントを$0$として，$1$回投げるごとに$1$または$2$の目が出たら$-1$を，$3$以上の目が出たら$1$をポイントに加算していくものとする．このとき，$5$回投げた後のポイントが$3$である事象は，$5$回のうち$1$または$2$の目が$\boxed{\text{オ}}$回出る事象と同じで，その確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

　次に，ポイントを決めるルールを以下のように変更する．最初のポイントを$0$として，$1$回投げるごとに$1$または$2$の目が出たら$-1$を，$3$または$4$の目が出たら$1$をポイントに加算し，$5$または$6$の目が出たらポイントを変更しないものとする．このとき，$5$回投げた後のポイントが$2$である事象の確率は，$3$または$4$の目が$2$回，$5$または$6$の目が$3$回出る事象の確率$\boxed{\text{キ}}$と，$1$または$2$の目が$\boxed{\text{ク}}$回，$3$または$4$の目が$\boxed{\text{ケ}}$回出る事象の確率$\boxed{\text{コ}}$の和である．また，$5$回投げた後のポイントが$0$である確率は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　$a>0$とし，$xy$平面上の$2$つの曲線$C_1:y=a\log x\text{，}{C}_2:y=x^2$について考える．点$\mathrm{P}(s,a\log s)$における$C_1$の接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$が点$\mathrm{P}$で$C_2$にも接するとき，$s$と$a$の値を求めよ．

(3)　$s$と$t$は上の(2)で求めた値をとるとする．このとき，$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれる部分を$y$軸の周りに$1$回転して出来る立体の体積$V$を求めよ．

【３】　$m$は$2$以上の整数で$n$は$4$以上の整数とする．$x+y=m$をみたす$1$以上の整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$の個数を$a_m$とし，また，$x+y+2z=n$をみたす$1$以上の整数$x\text{，}y\text{，}z$の組$(x,y,z)$の個数を$b_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x+y=4$をみたす$1$以上の整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$をすべて書け．

(2)　$a_m$を求めよ．

(3)　$x+y+2z=6$をみたす$1$以上の整数$x\text{，}y\text{，}z$の組$(x,y,z)$をすべて書け．

(4)　$b_4\text{，}{b}_5\text{，}{b}_6\text{，}{b}_7$を求めよ．

(5)　$n\geqq 4$のとき$b_n$を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{n^2}}$を求めよ．

【４】　$r$は正の実数とする．$2$つの実数$x\text{，}y$に対して$p=x+y\text{，}q=xy$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$x^2+y^2=r^2$のとき，$q$を$p$の式で表せ．また，$p$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が円$x^2+y^2+=r^2$の上を動くときの点$(p,q)$の軌跡を$C_r$とする．$C_r$の概形を描け．

(3)　$r$が$1\leqq r\leqq 2$の範囲で変化するとき，$C_r$が通る座標平面上の範囲を図示せよ．