2009　関西学院大　経済学部Ａ方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$f(x)=|x+1|+|x-1|+2$と$2$次関数$g(x)=a{x}^2+bx+c$がある．放物線$y=g(x)$が$y=f(x)$のグラフ上の$3$点$(-2,6)\text{，}(-1,4)\text{，}(0,4)$を通るとする．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$であり，関数$f(x)-g(x)\text{（}-3\leqq x\leqq 3\text{）}$は$x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$または$x=\boxed{\text{エ}}$で最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　一の位の数字が$0$でない$4$桁の自然数$x$について，$x$の各位の数字を一の位から千の位に逆の順に並べた$4$桁の自然数を$y$とする．たとえば，$x=6425$であるとき，$y=5246$である．$x$と$y$がともに偶数となるような$x$は全部で$\boxed{\text{カ}}$個あり，$x$と$y$がともに奇数となるような$x$は全部で$\boxed{\text{キ}}$個ある．$x=y$となるような$x$は全部で$\boxed{\text{ク}}$個存在し，また$x>y$であるような$x$は全部で$\boxed{\text{ケ}}$個存在する．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において方程式$x^2+{(y-1)}^2=1$で表される円$C_1$と，正の定数$a$に対して方程式$y={\displaystyle \frac{1}{2}}a{x}^2$で表される放物線$C_2$がある．$C_1$と$C_2$が異なる$3$点を共有するような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$であり，$1$点のみ共有するときの$a$の値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．$C_1$と$C_2$が異なる$3$点を共有するとき，原点以外の$2$つの共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$a$で表すと$\boxed{\text{ウ}}$であり，$▵\mathrm{OAB}$が正三角形となるときの$a$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$a\text{，}c$を実数とする．座標空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,a)\text{，}\mathrm{B}(3,1,5)\text{，}\mathrm{C}(0,1,c)$が同一平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$x=\boxed{\text{オ}}\text{，}y=\boxed{\text{カ}}$であり，$c$を$a$の式で表すと$c=\boxed{\text{キ}}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の関係から，四角形$\mathrm{OABC}$の面積$S$は$▵\mathrm{OAC}$の面積の$\boxed{\text{ク}}$倍である．$a$と$c$が$c=\boxed{\text{キ}}$の関係を満たしながら変化するとき，$S$の最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【３】　$a$を定数とする．$xy$平面上に曲線$C_1:y=x^3$と曲線$C_2:y=x^3-3x^2+3x+a$がある．$0\leqq t\leqq 1$である$t$に対して，$C_1$上の点$(t,t^3)$における$C_1$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$が$C_2$の接線でもあり，$l$と$C_2$の接点の$x$座標$s$が$0\leqq s\leqq 1$の範囲にあるとき，$s$および$a$を$t$の式で表せ．

(3)　$l$が小問(2)の条件を満たすとき，$a$の値の範囲を求めよ．