2009　西南学院大学　経済，国際文化学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　$x\text{，}y$は$x-y=\sqrt{3}\text{，}{x}^2+y^2=8$を満たすとする．このとき，以下の値を求めよ．

(1)　$xy={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

(2)　$x^3-y^3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

(3)　$x^4+y^4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キクケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

【１】

2.　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$6$文字を$1$列に並べるとき，次の問に答えよ．

(1)　並べ方は全部で$\boxed{\text{サシ}}$通りある．

(2)　$\mathrm{A}$どうしが隣り合わない並べ方は$\boxed{\text{スセ}}$通りある．

(3)　同じ文字が隣り合わない並べ方は$\boxed{\text{ソタ}}$通りある．

【２】

1.　以下の問に答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3+3x^2+ax+b=0$の$1$つの解を$1-i$とするとき，$a=-\boxed{\text{チ}}\text{，}b=\boxed{\text{ツテ}}$である．ただし，$a$と$b$は実数，$i$は虚数単位である．

(2)　$3$次方程式$x^3-5x^2+cx+d=0$の$1$つの解が$-1$であり，残りの$2$つの解が重解となるとき，$c=\boxed{\text{ト}}\text{，}d=\boxed{\text{ナ}}$である．

【２】

2.　$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．$\cos \theta =\sin (\theta +45°)$のとき，

• ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\text{，}{\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$
• ${\tan }^2\theta =\boxed{\text{ハ}}-\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$

である．

【３】　曲線$C:y=x^3-2x$上にない点$(a,b)$について，この点を通る$C$の接線が$2$本のみ存在するとき，以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^3-2t)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$の満たすべき関係式を求めよ．

(3)　この$2$本の接線が直交するときの$a\text{，}b$の値を求めよ．