2009　福岡大学　工・薬学部前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式$9^{-x}-4\cdot 3^{-x+1}+27\geqq 0$を解くと$\boxed{\text{(1)}}$である．また，不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(x-7)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)\leqq -4$を解くと$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$k\text{，}y$軸方向に$-2k$だけ平行移動した放物線を$y=x^2+ax+b$とする．このとき，$b$を$k$を用いて表すと，$b=\boxed{\text{(3)}}$である．また，この$a\text{，}b$に対して，関数$f(x)=x^2+ax+b$が$1\leqq x\leqq 4$でつねに$f(x)<0$を満たすとき，定数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=15\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{B}=120\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AC}=5$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めると$R=\boxed{\text{(5)}}$である．また，外接円上に点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{BCD}=90\mathrm{°}$となるようにとるとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　点$(1,2)$から，単位円に引いた$2$本の接線の方程式は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，この$2$本の接線と単位円の接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}-a_n=2n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$S_n={\left({\displaystyle \frac{a_2}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a_4}{5}}\right)}^2+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{a_{2n}}{2n+1}}\right)}^2$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^3}}=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$f(x)=x{e}^x$とする．曲線$y=f(x)$について，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{x}{e^2}}$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　座標平面上の点$\mathrm{P}(2,2)$を通り，単位円に接する$2$本の直線$l_1\text{，}{l}_2$の傾きをそれぞれ$m_1\text{，}{m}_2$とする．$m_1<m_2$とするとき$m_1$を求めると$m_1=\boxed{\text{(1)}}$である．また，$2$本の直線$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\tan \theta$の値を求めると$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=a_n+4n+3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$S_n={\left({\displaystyle \frac{a_2}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a_4}{5}}\right)}^2+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{a^{2n}}{2n+1}}\right)}^2$とおくとき，$S_n=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x^2-2x\text{，}{C}_2\text{：}y=-x^2+(4a-2)x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれた図形は，$x$軸により$2$つの部分に分かれる．$x$軸より上の部分の面積を$S_1\text{，}$下の部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_2=15S_1$となる$a$の値を求めよ．