2010 大学入試センター試験 本試験 数学II・数学IIBMathJax

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2010 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点12点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 連立方程式

(*) { x y= 128 1log 2x +1 log2 y =712

を満たす正の実数 x y を求めよう.ただし, x1 y1 とする. の両辺で 2 を底とする対数をとると

log2 x+log 2y =

が成り立つ.これと より

(log2 x) (log 2y )= イウ

である.

 したがって, log2 x log2 y 2 次方程式

t2- t + オカ =0

の解である. の解は t = である.ただし, は解答の順序を問わない.よって,連立方程式(*)の解は (x ,y)= ( , コサ ) または (x ,y) = ( コサ , ) である.

2010 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点18点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  0<θ < π2 の範囲で

sin4 θ=cos θ

を満たす θ sin θ の値を求めよう.

 一般に,すべての x について

cosx= sin( -x)

である. に当てはまるものを,次の 0 2 のうちから一つ選べ.

0   π 1   π 2 2   - π2

 したがって, が成り立つとき, sin4 θ=sin ( -θ ) となり, 0<θ < π2 の範囲で 4 θ -θ のとり得る値の範囲を考えれば, 4θ = -θ または 4 θ=π -( -θ ) となる.よって, を満たす θ θ = π または θ = π セソ である.

  sin π = である. sin π セソ の値を求めよう. より

sin 2θ cos2 θ= cosθ

となり,この式の左辺を 2 倍角の公式を用いて変形すれば

( sin θ- sin 3θ )cos θ=cos θ

となる.ここで cos θ>0 であるから

sin3 θ- sin θ+1 =0

が成り立つ. sinθ= を満たしている. θ= π セソ とすると, sinθ であるから

sin2 θ+ sin θ-1= 0

となる.ここで, sin π セソ >0 より

sin π セソ = ヌネ +

である.

2010 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  k を実数とし,座標平面上に点 P ( 1,0 ) をとる.曲線

y=-x 3+9 x2 +k x

C とする.

(1) 点 Q ( t,-t 3+9 t2 +kt ) における曲線 C の接線が点 P を通るとすると

- t3+ イウ t2- エオ t =k

が成り立つ.

p(t )= - t3 + イウ t2 - エオ t

とおくと,関数 p (t ) t= で極小値 キク をとり, t= で極大値 をとる.

 したがって,点 P を通る曲線 C の接線の本数がちょうど 2 本となるのは, k の値が または シス のときである.また,点 P を通る曲線 C の接線の本数は k= 5 のとき 本, k=-2 のとき 本, k=-12 のとき 本となる.

(2)  k=0 とする.曲線

y=-x 3+6 x2 +7 x

D とする.曲線 C D の交点の x 座標は である.

  -1x 2 の範囲において, 2 曲線 C D および 2 直線 x= -1 x= 2 で囲まれた二つの図形の面積の和は トナ である.

2010 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の直線 y= -x l で表す. 2 A ( 2,0 ) B ( 2,2 ) と直線 l 上の点 P (s, -s) を考える.ただし, s2 とする.

  3 A B P を通る円 C の中心 Q は直線 y = 上にある.点 Q x 座標を t とおき, AQ2 PQ2 s t を用いて表すと

AQ2= t2- t +

PQ2= t2 - s t+ s 2 + s+

である.

 一方, st のとき,直線 PQ の傾きは

+s t-s

である.

 円 C が直線 l と接するときの s の値と円 C の方程式を求めよう.円 C と直線 l が接するとき,直線 PQ と直線 l は垂直であるから

+s t-s =

となり

t= s +

と表せる.さらに, AQ2= PQ2 であることより

s=

となる.ただし, < とする. s= のとき,円 C の方程式は

(x - ) 2+ (y - ) 2=

であり,また s = のとき,円 C の方程式は

(x - ) 2+ (y - ) 2= テト

である.

2010 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b を実数とし, x 3 次式

P(x )= x 3-a x2 -b x-1+ a+b

Q(x )=x3 -2 b x2- 4(1 -a-b )x- 8a

を考える.

(1)  P(x ) Q (x ) a b について整理すると

P(x )=- ( x2- )a -(x - )b +x3 -1

Q(x )=4 ( x- ) a -2 (x 2- x) b+ x3- 4x

であるので

P(x ) = (x - ) {x2 +(1 + )x +1-a -b}

Q(x ) =(x - ) {x2 +2( 1- ) x+ ケコ }

と因数分解される.

(2) 虚数 α P (α )= 0 Q (α )= 0 を満たすとき

α2+ (1- ) α+1 -a-b =0

α2+ 2(1 - ) α+ ケコ = 0

であるので, α

( サシ -a +2b )α +1- スセ - b=0

を満たす.ここで, a b が実数であり,かつ α が虚数であることから

a= タチ b= タチ

である.

 このとき,方程式 P (x )= 0 の二つの虚数解の逆数は 2 次方程式

x2+ x + ナニ =0

の解である.

2010 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 自然数の列 1 ,2,3 ,4, を,次のように群に分ける.

1 | 2,3, 4,5 | 6,7 ,8,9 ,10,11 ,12 | 1   2   3    

 ここで,一般に第 n 群は (3 n-2 ) 個の項からなるものとする.第 n 群の最後の項を an で表す.

(1)  a1= 1 a2= 5 a3= 12 a4= アイ である.

an- an- 1= n- n =2 3 4

が成り立ち

an= n - n n=1 2 3

である.

 よって, 600 は,第 コサ 群の小さい方から シス 番目の項である.

(2)  n=1, 2,3 に対し,第 (n+ 1) 群の小さい方から 2 n 番目の項を bn で表すと

bn= n + n

であり

1 bn = ( 1 n-1 n+ )

が成り立つ.これより

k=1 n 1 bk = n n+ n= 1 2 3

となる.

2010 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

2010年センター試験本試験数学II・A【4】の図

【4】 二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という.辺の長さがすべて 1 の平行六面体 ABCD -EFGH があり, EAB= DAB= π 2 EAD= π3 である. AB =p AD =q AE =r とおく.

  0<a< 1 0<b< 1 とする.辺 AB a: (1-a ) の比に内分する点を X BF b: (1-b ) の比に内分する点を Y とする.点 X を通り直線 AH に平行な直線と辺 GH との交点を Z とする.三角形 XYZ を含む平面を α とする.

(1)  p ·q =p ·r = q ·r = である.ベクトル XY は, a b p r を用いて XY = (1- ) p + r と表される. EC ·XZ = である.

(2) 直線 EC と平面 α が垂直に交わるとし,交点を K とする. EC が三角形 XYZ 2 辺と垂直であることから, a +b= が成り立つ.

 以下では, b= 12 とする.このとき a= である. EK を実数 c を用いて EK =c EC と表すと, AK =AE + cEC である.一方,点 K は平面 α 上にあるから, AK は実数 s t を用いて

AK =AX +s XY +t XZ = ( 1 s+ ) p +t q +( 1 s+t) r

と表される.これらより, c= である.よって,点 E と平面 α との距離 | EK | となる.

2010 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 次の表は,高等学校のある部に入部した 20 人の生徒について,右手と左手の握力(単位 kg )を測定した結果である.測定は 10 人ずつの二つのグループについて行なわれた.ただし,表中の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.

 以下,小数の形で解答する場合は,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合は,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 第 1 グループに属する 10 人の右手の握力について,平均値 A アイ . kg である.

 また, 20 人全員の右手の握力について,平均値 M エオ . kg 中央値は キク . kg である.

(2) 右手の握力について, 20 人全員の平均値 M からの偏差の 2 乗の和を,二つのグループそれぞれについて求めると,第 1 グループでは コサシ であり,第 2 グループでは 420 である.したがって, 20 人全員の右手の握力について,標準偏差 S の値は . kg である.

(3)  t を正の実数とする. 20 人全員の右手の握力の平均値 M と標準偏差 S を用いて, M-t S より大きく M+ tS より小さい範囲を考える.

  20 人全員の中で,右手の握力の値がこの範囲に入っている生徒の人数を N (t) とするとき, N( 1)= ソタ であり, N( 2)= チツ である.

(4) 第 2 グループに属する 10 人の左手の握力について,平均値 D テト . kg であり,中央値が 40.5 kg であるから, B の値は ニヌ kg C の値は ネノ kg である.ただし, B の値は C の値より大きいものとする.これより, E F の値も定まる.

(5)  20 人の各生徒について,右手と左手の握力の平均値と,右手と左手の握力の差の絶対値を求めた.握力の平均値については,最初にあげた表の「左右の握力の平均値」の列に示している.

 握力の平均値を横軸に,握力の差の絶対値を縦軸にとった相関図(散布図)として適切なものは であり,相関係数の値は に最も近い.したがって,この 20 人については, に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 1
2010年センター試験本試験数学II数学A【5】の図2010年センター試験本試験数学II数学A【5】の図
2 3
2010年センター試験本試験数学II数学A【5】の図2010年センター試験本試験数学II数学A【5】の図

  に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 2 のうちから一つ選べ.

0  握力の平均値が増加するとき,握力の差の絶対値が増加する傾向が認められる

1  握力の平均値が増加するとき,握力の差の絶対値が増加する傾向も減少する傾向も認められない

2  握力の平均値が増加するとき,握力の差の絶対値が減少する傾向が認められる

2010 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】 自然数 N を三つの自然数 a b c の和として表す方法の総和を求める.ただし, a b c a bc を満たすとする.

 次のように考えよう.まず, a のとり得る値の範囲を求め,次に,その範囲にある a の各値について, a+b+ c=N となる自然数 b c a bc の組を数える.

(1)  ab c より, a のとり得る値は N 以下のすべての自然数である.

(2)  N=20 とする.このとき, a のとり得る最大の数は であり,さらに, a=3 のとき, b c 3 bc の組は全部で 個である.

(3) 自然数 N を三つの自然数 a b c a bc の和として表す方法の総数を求めるため,以下のような〔プログラム〕を作成した.ただし,INT(X)Xを超えない最大の整数を表す関数である.

〔プログラム〕

100 INPUT N

110 LET X=0

120 FOR A=1 TO INT(N/ )

130 LET

140 NEXT A

150 PRINT "N=";N;" のとき,総数は ";X;" 通りである "

160 END

  に当てはまるものを,次の 0 5 の中から一つ選べ.

 〔プログラム〕を実行して,N 13 を入力したとき,130 行は 回実行され,150 行で出力される X の値は カキ である.

(4) 一般に,三つの正の数について,どの二つの数の和も残りの数より大きければ,それらを三辺の長さとする三角形が存在する.逆に,すべての三角形において,どのに辺の長さの和も残りの一辺の長さより大きい.

 この事実を用いて,自然数 N を三角形の三辺の長さとなり得る三つの自然数 a b c a bc の和として表す方法をすべて列挙し,その総数を求める.そのためには,(3)の〔プログラム〕の 130 行を削除して,次の 131 行〜 137 行を追加すればよい.

131  FOR B=

132   LET C=

133   IF THEN

134    PRINT "(";A;",";B;",";C;")"

135    LET

136   END IF

137  NEXT B

  に当てはまるものを,次の 0 5 の中から一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 の中から一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 の中から一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 の中から一つ選べ.

 変更後のプログラムを実行して,N 13 を入力したとき,150 行で出力される X の値は である.

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