2010　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕　二つの円$O\text{，}$$O^{\prime }$がある．円$O$の半径を$r$とし，円$O^{\prime }$の円周の長さは円$O$の円周の長さより$20$だけ長いとする．

　円$O^{\prime }$の半径は$r+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\pi }}$である．

　円$O^{\prime }$の面積が円$O$の面積の$2$倍以上であり$3$倍以下であるような$r$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\pi }}\leqq r$$\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}+\boxed{\text{クケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\pi }}$

である．

【１】

〔２〕　不等式

$6\leqq |x|+2|x-4|\leqq 10\cdots \text{①}$

を考える．

　不等式$|x|+2|x-4|\leqq 10$の解は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\leqq x\leqq \boxed{\text{セ}}$

である．

　不等式$|x|+2|x-4|\geqq 6$の解は

$x\leqq \boxed{\text{ソ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\leqq x$

である．

　したがって，$\text{①}$の解のうち整数であるものの個数は$\boxed{\text{テ}}$個である．

【２】　$a$を定数とし，$x$の$2$次関数

$y=x^2+(2a-2)x-4a+2\cdots \text{①}$

のグラフを$G$とする．$G$の頂点の座標は

$(-a+\boxed{\text{ア}},-a^2-\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}})$

である．

　$G$を$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$a$だけ平行移動したグラフが$y={(x-1)}^2$のグラフと一致しているとき，$a$の値は${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{エ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

　以下，$a={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{エ}}+\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$とする．

(1)　$G$の軸は直線$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．また，$2$次関数$\text{①}$の$-2\leqq x\leqq 2$における最大値は$\boxed{\text{コサ}}-\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}-\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

(2)　$G$と$y$軸との交点の $y$座標を$Y$とするとき

$Y=\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$

である．

　$G$を$y$軸方向に$-Y$だけ平行移動したグラフを$G_1$とするとき，$G_1$の頂点の$y$座標は${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ト}}+\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．また，$G_1$と$x$軸との交点の$x$座標は$\boxed{\text{ネ}}$と$\boxed{\text{ノ}}-\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=2$とする．

　このとき

$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$半径を$R$とすると

$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(1)　外接円$O$の点$\mathrm{C}$を含まない弧$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{PB}$となるようにとる．線分$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とすると

$\mathrm{OH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}R$

であり，

$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$を底面とし$\mathrm{D}$を頂点とする三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{DABC}$を考える．ただし，直線$\mathrm{DO}$は底面に垂直であり，かつ$\mathrm{AD}=\mathrm{AP}$であるとする．このとき

$\mathrm{DO}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

であり，三角錐$\mathrm{DABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

　また，点$\mathrm{X}$が$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上を動くとき，$\tan \angle \mathrm{OXD}$の最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$であり，最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．

【４】　$a$を定数とする．$t\text{，}$$x$の整式

$t^2+3tx+4x^2-1$

に$t=a(2x+1)$を代入して得られる$x$の整式を$P$とする．$P$は

$P=(\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}})(Ax+B)$

と因数分解される．ただし

$A=\boxed{\text{ウ}}{a}^2+\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}}\text{，}$$B=a^2-\boxed{\text{カ}}$

である．

(1)　$a$の$2$次式$A$について，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうち正しいものは$\boxed{\text{キ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　$a$の値によらず，$A$の値は正である

$\overline{)\text{1}}$　$a$の値によらず，$A$の値は負である

$\overline{)\text{2}}$　$a$の値によって，$A$の値は正にも負にもなる

$\overline{)\text{3}}$　$a$の値によって，$A$の値は正にも$0$にもなるが，負にはならない

$\overline{)\text{4}}$　$a$の値によって，$A$の値は負にも$0$にもなるが，正にはならない

　$x$についての方程式$P=0$が正の解をもつような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{クケ}}<a<\boxed{\text{コ}}$

である．

(2)　$a=2-\sqrt{3}$とする．

　このとき，${(a-2)}^2=\boxed{\text{サ}}$であり，$a^2=\boxed{\text{シ}}a-\boxed{\text{ス}}$である．よって

$A=\boxed{\text{セソ}}a\text{，}$$B=\boxed{\text{タ}}a-\boxed{\text{チ}}$

となる．したがって，$x$についての方程式$P=0$の正の解は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{トナ}}}}$

である．

【１】〔２〕　次の$\boxed{\text{サ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　実数$a\text{，}$$b$に関する条件$\mathrm{p}\text{，}$$\mathrm{q}\text{，}$$\mathrm{r}\text{，}$$\mathrm{s}$を次のように定める．

$\mathrm{p}:ab\geqq 0$

$\mathrm{q}:ab\geqq a^2$

$\mathrm{r}:ab\geqq b^2$

$\mathrm{s}:a=b$

　また，条件$\mathrm{p}$の否定を$\bar{\mathrm{p}}\text{，}$条件$\mathrm{r}$の否定を$\bar{r}$で表す．このとき

$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための$\boxed{\text{サ}}$．

$\bar{\mathrm{p}}$は$\bar{\mathrm{r}}$であるための$\boxed{\text{シ}}$．

$\mathrm{s}$は「$\mathrm{q}$かつ$\mathrm{r}$」であるための$\boxed{\text{ス}}$．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件でない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件でない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=2$とする．

　このとき

$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$半径を$R$とすると

$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(1)　外接円$O$の点$\mathrm{C}$を含まない弧$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{PB}$となるようにとる．線分$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とすると

$\mathrm{OH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}R$

であり，

$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

(2)　外接円$O$の点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AQ}=\mathrm{QC}$となるようにとり，線分$\mathrm{BP}$の延長と線分$\mathrm{QA}$の延長との交点を$\mathrm{S}$とする．

　$\angle \mathrm{PBA}=\theta$とおく．次の$5$個の角のうち，その大きさが$2\theta$であるものの個数は$\boxed{\text{セ}}$個である．

$\angle \mathrm{SPA}\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}\text{，}$$\angle \mathrm{BCA}\text{，}$$\angle \mathrm{CAP}\text{，}$$\angle \mathrm{PAS}$

そして

$\mathrm{SA}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}$$\mathrm{SQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．さらに，点$\mathrm{S}$から円$O$に接線を引き，その接点を$\mathrm{T}$とすると

$\mathrm{ST}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

である．

【４】　硬貨を繰り返して投げる．同じ面がちょうど$n$回だけ続いて出たとき，その一続きの並びを$\stackrel{\text{れん}}{\text{連}}$とよび，$n$をその連の長さとよぶことにする．ただし，$n=1$の場合も含む．

　硬貨を$6$回繰り返して投げる．このとき，現れる連の長さの最大値を得点とする．例えば，出た面が（表，表，裏，裏，表，裏）のときは，連の長さは順に$2\text{，}$$2\text{，}$$1\text{，}$$1$であるから，得点は$2$点であり，出た面が（表，表，表，裏，裏，表）のときは，連の長さは順に$3\text{，}$$2\text{，}$$1$であるから，得点は$3$点である．

(1)　得点が$5$点となるのは$\boxed{\text{ア}}$通りである．

　得点が$2$点となる場合，長さ$2$の連が$1$度だけ現れるのは$\boxed{\text{イウ}}$通り，ちょうど$2$度現れるのは$\boxed{\text{エオ}}$通り，$3$度現れるのは$\boxed{\text{カ}}$通りである．

(2)　得点が$1$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}\text{，}$得点が$4$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}\text{，}$得点が$6$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．

　また，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．