2010　北海道大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の実数とし，$2$つの放物線

$C_1:y=x^2$

$C_2:y=x^2-4ax+4a$

を考える．

(1)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$と直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれがさいころを$1$回ずつ投げる．

(ⅰ)　同じ目が出たときは$\mathrm{A}$の勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．

(ⅱ)　$p\text{，}q$を自然数とする．$\mathrm{A}$が勝ったときは，$\mathrm{A}$が出した目の数の$p$倍を$\mathrm{A}$の得点とする．$\mathrm{B}$が勝ったときには，$\mathrm{B}$が出した目の数に$\mathrm{A}$が出した目の数の$q$倍を加えた合計を$\mathrm{B}$の得点とする．負けた者の得点は$0$とする．

　$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E_{\mathrm{A}}\text{，}\mathrm{B}$の得点の期待値を$E_{\mathrm{B}}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$E_{\mathrm{A}}\text{，}{E}_{\mathrm{B}}$をそれぞれ$p\text{，}q$で表せ．

(2)　$E_{\mathrm{A}}=E_{\mathrm{B}}$となる最小の自然数$p$と，そのときの$E_{\mathrm{A}}$の値を求めよ．

【３】　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．

$\begin{array}{ccccccc}\{a_1\}& \text{，}& \{a_2,a_3,a_4\}& \text{，}& \{a_5,a_6,a_7,a_8,a_9\}& \text{，}& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \end{array}$

　$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)　第$k$群の最初の項を求めよ．

(2)　第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．

(3)　$(k^2+1)S_k\leqq {\displaystyle \frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．

【４】　直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\mathrm{AB}=1$であるとする．$\angle \mathrm{B}=\theta$とおく．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{CD}$を下ろし，点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{DE}$を下ろす．$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}}$を$\theta$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{FEC}$の面積を$\theta$で表せ．

【２】　実数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2-A+E=O$を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)　$A$は逆行列をもつことを示せ．

(2)　$a+d$と$ad-bc$を求めよ．

(3)　$b>0\text{，}{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$のとき，$A$を求めよ．

【３】　正の実数$r$と$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲の実数$\theta$に対して

$a_0=r\cos \theta \text{，}{b}_0=r$

とおく．$a_n\text{，}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を漸化式

$a_n={\displaystyle \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}}\text{，}{b}_n=\sqrt{a_n{b}_{n-1}}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}\text{，}{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}$を$\theta$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を$n$と$\theta$で表せ．

(3)　$\theta \ne 0$のとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n={\displaystyle \frac{r\sin \theta }{\theta }}$

を示せ．

【４】　$0\leqq x\leqq 1$に対して

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-|t-x|}t(1-t)dt$

と定める．ただし，$e=2.718\cdots$は自然対数の底である．

(1)　不定積分$I_1={\displaystyle \int }t{e}^{t}dt\text{，}{I}_2={\displaystyle \int }{t}^2{e}^{t}dt$を求めよ．

(2)　$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．

(3)　$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で極大となることを示せ．

【５】　$2$本の当たりくじを含む$102$本のくじを，$1$回に$1$本ずつ，くじがなくなるまで引き続けることにする．

(1)　$n$回目に$1$本目の当たりくじが出る確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\cdots$の順に，このくじ引きを行うとする．$1$本目の当たりくじを$\mathrm{A}$が引く確率を求めよ．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$についても，$1$本目の当たりくじを引く確率を求めよ．