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2010-10007-0101
2010 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 c を定数とし,関数 f⁡ (x) ,g⁡( x) を
f⁡(x )=-x +c ,g⁡( x)=- x2+ 2⁢x+ 3
と定める.また,直線 y= f⁡(x ) は放物線 y= g⁡(x ) の接線であるとする.
(1) c の値を求めよ.
(2) 直線 y= f⁡(x ), 放物線 y= g⁡(x ), および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2010-10007-0102
【2】 関数 g⁡ (x) は微分可能であるとし,関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )= ∫- ππ ⁡{t -g⁡( x)⁢sin ⁡t} 2⁢dt
と定める.
(1) 定積分 ∫-π π⁡ t⁢sin⁡ t⁢dt , ∫ -ππ ⁡sin 2⁡t⁢ dt の値を求めよ.
(2) f′⁡ (x) を g⁡ (x) ,g′ ⁡(x ) を用いて表せ.
(3) g⁡(x )=x3 -3⁢ x であるとき, f⁡(x ) の極大値を求めよ.
2010-10007-0103
【3】 数列 {an } は
a1= 1 3 ,(1- an+1 )⁢( 1+2⁢ an)= 1( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たすとする.
(1) すべての正の整数 n に対して an ≧ 13 であることを,数学的帰納法によって証明せよ.
(2) bn= 1 an とおくとき, bn+ 1 を bn を用いて表せ.
(3) 数列 {an } の一般項を求めよ.
2010-10007-0104
【4】 s ,t を正の実数とする.平面上の 3 点 A ,B ,C は同一直線上にないものとし,さらに平面上の 2 点 P ,Q を AP →=s ⁢AB→ +t⁢ AC→ , BQ→ = ts+t ⁢ BC→ で定める.
(1) AQ→ を s ,t ,AB→ , AC→ を用いて表せ.
(2) AB→ と AC → のなす角が 60° で | AC→ |=2 ⁢| AB→ | あるとする. AP→ ⊥CP → かつ | AP→ | =5⁢t ⁢| AQ→ | であるとき, s ,t の値を求めよ.
2010-10007-0105
【5】 a ,b ,c ,d を実数とする. E=( 10 01 ) とし, 2 次の正方行列 A= (a b cd ) は A 2=-E を満たすとする.
(1) a=0 のとき, d ,b⁢d の値を求めよ.
(2) (1)の条件のもとで, E+A が逆行列をもつことを示せ.さらに,実数 p , q を用いて (E +A) -1 を p⁢ E+q⁢ A の形で表すとき, p ,q の値を求めよ.
(3) a を任意の実数とするとき, a+d ,a⁢ d-b⁢c の値を求めよ.