2010　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$c$を定数とし，関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=-x+c\text{，}g(x)=-x^2+2x+3$

と定める．また，直線$y=f(x)$は放物線$y=g(x)$の接線であるとする．

(1)　$c$の値を求めよ．

(2)　直線$y=f(x)\text{，}$放物線$y=g(x)\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　関数$g(x)$は微分可能であるとし，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\{t-g(x)\sin t\}}^{2}dt$

と定める．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}t\sin tdt\text{，}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\sin }^{2}tdt$の値を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)$を$g(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)$を用いて表せ．

(3)　$g(x)=x^3-3x$であるとき，$f(x)$の極大値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}(1-a_{n+1})(1+2a_n)=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　すべての正の整数$n$に対して$a_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$であることを，数学的帰納法によって証明せよ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$s\text{，}t$を正の実数とする．平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は同一直線上にないものとし，さらに平面上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BQ}}={\displaystyle \frac{t}{s+t}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$で定める．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$s\text{，}t\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角が$60°$で$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=2\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$あるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CP}}$かつ$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=5t\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|$であるとき，$s\text{，}t$の値を求めよ．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とする．$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とし，$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は$A^2=-E$を満たすとする．

(1)　$a=0$のとき，$d\text{，}bd$の値を求めよ．

(2)　(1)の条件のもとで，$E+A$が逆行列をもつことを示せ．さらに，実数$p\text{，}q$を用いて${(E+A)}^{-1}$を$pE+qA$の形で表すとき，$p\text{，}q$の値を求めよ．

(3)　$a$を任意の実数とするとき，$a+d\text{，}ad-bc$の値を求めよ．