2010　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　整数を係数とする$n$次方程式

$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0$

が有理数の解${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$（$\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする）をもつとき，$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ．

問２　素数$p$に対して，

$x+y+z={\displaystyle \frac{p}{3}}\text{，}xy+yz+zx={\displaystyle \frac{1}{p}}\text{，}xyz={\displaystyle \frac{1}{p^3}}$

を満たす$x\text{，}y\text{，}z$がすべて正の有理数であるとき，$p$および$x\text{，}y\text{，}z$を求めよ．

【２】　$\alpha >1$とする．$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{\alpha -1}}$となる$t$に対して，$xy$平面上の点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t)$と点$\mathrm{Q}(\cos \alpha t,\sin \alpha t)$を通る直線を$l_t$とする．次の問いに答えよ．

問１　直線$l_t$の方程式を

$f(t)x+g(t)y=h(t)$

とする．$h(t)=-\sin (\alpha -1)t$のとき，$f(t)\text{，}g(t)$を求めよ．

問２　行列$\left(\begin{array}{cc}f(t)& g(t)\\ f^{\prime }(t)& g^{\prime }(t)\end{array}\right)$は逆行列をもつことを示せ．

問３　$x\left(t\right)\text{，}y\left(t\right)$を

$\left(\begin{array}{cc}f(t)& g(t)\\ f^{\prime }(t)& g^{\prime }(t)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}h(t)\\ h^{\prime }(t)\end{array}\right)$

を満たすものとし，点$\mathrm{R}(x(t),y(t\left)\right)$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$\mathrm{R}$は直線$l_t$上にあり，曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線は$l_t$と一致することを示せ．

【３】　関数$f(x)=\sin x(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の逆関数を$g(x)\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$-1<x<1$のとき，$g^{\prime }(x)$を$x$を用いて表せ．

問２　曲線$y={\sin }^{2}x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と直線$y=t\text{（}0<t<1\text{）}$の$2$つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とおくとき，${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{\sin }^{2}xdx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．

問３　$h(t)={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{\sin }^{2}xdx-\sqrt{1-t^2}\text{（}0<t<1\text{）}$とおくとき，$h(t)<0\text{（}0<t<1\text{）}$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．

問２　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b$で表す．$0<\alpha <\beta <\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}<{\displaystyle \frac{1-\cos \beta }{1-\cos \alpha }}<{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{{\alpha }^2}}$