2010　東北大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=x^3$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq a<x<y$を満たすすべての$a\text{，}x\text{，}y$に対して

${\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}<{\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$y<x<b$を満たすすべての$x\text{，}y$に対して

$f(x)>{\displaystyle \frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}}$

が成り立つような$b$の範囲を求めよ．

【２】　放物線$C:y=x^2$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$を(1)で求めた直線とする．$a\ne 0$のとき，直線$x=a$を$l$に関して対称に折り返して得られる直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた直線$m$は$a$の値によらず定点$\mathrm{F}$を通ることを示し，$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

【３】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．裏表の出る確率が等しい硬貨を$2$枚投げて，$2$枚とも表が出たら$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ移動し，$2$枚とも裏が出たら$\mathrm{P}$は負の向きに$1$だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$を出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$S_2=-1$となる確率を求めよ．

(2)　$S_3=1$となる確率を求めよ．

(3)　試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．

(4)　$k$を整数とするとき，$S_n=k$となる確率を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{N}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　等式

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$

を満たす点$\mathrm{P}$は存在するか．証明をつけて答えよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が等式

$|\overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}|$

を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く図形を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が等式

${|\overrightarrow{\mathrm{RA}}|}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{RB}}|}^2={|\overrightarrow{\mathrm{RC}}|}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{RD}}|}^2$

を満たしながら動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MR}}$は$\mathrm{R}$のとり方によらず一定であることを示せ．

(4)　(2)の点$\mathrm{Q}$が描く図形と(3)の点$\mathrm{R}$が描く図形が一致するための必要十分条件は$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$であることを示せ．

【１】　$f(x)=x^3+3x^2-9x$とする．$y<x<a$を満たすすべての$x\text{，}y$に対して

$f(x)>{\displaystyle \frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}}$

が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を正の実数とする．曲線$C:y=x^3-a^{2}x+a^3$と点$\mathrm{P}(b,0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$から曲線$C$に接線がちょうど$3$本引けるような点$(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から曲線$C$に接線がちょうど$2$本引けるとする．$2$つの接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$としたとき，$\angle \mathrm{APB}$が$90°$より小さくなるための$a$と$b$の条件を求めよ．

【３】　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードを用いて，次の手順で$5$桁の整数をつくる．まず$1$枚を取り出して現れた数字を$1$の位とする．取り出した$1$枚を元に戻し，$4$枚のカードをよく混ぜて，再び$1$枚を取り出して現れた数字を$10$の位とする．このような操作を$5$回繰り返して，$5$桁の数字をつくる．得られた整数を$X$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$X$に数字$1$がちょうど$2$回現れる確率を求めよ．

(2)　$X$に数字$1$と数字$2$がちょうど$1$回ずつ現れる確率を求めよ．

(3)　$X$にちょうど$2$回現れる数字が$1$種類以上ある確率を求めよ．

【５】　$0<t<3$のとき，連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq y\leqq \sin x\\ 0\leqq x\leqq t-y\end{array}$

の表す領域を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を$V(t)$とする．${\displaystyle \frac{d}{dt}}V(t)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となる$t$と，そのときの$V(t)$の値を求めよ．

【６】　$xy$平面において，原点を中心とし$\mathrm{P}(1,0)$を頂点の$1$つとする正$6$角形を$X$とする．$A$を$2$次の正方行列とし，$X$の各頂点$(x,y)$に対して，行列$A$の表す移動

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

で得られる点$(x^{\prime },y^{\prime })$は$X$の辺上の点（頂点を含む）であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が行列$A$の表す移動で$\mathrm{P}$自身に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が行列$A$の表す移動で$X$のある頂点に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部