2010　東北大学　後期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}{y}_1\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$は$x_1>x_2>\cdots >x_n\text{，}{y}_1>y_2>\cdots >y_n$を満たす実数とする．$z_1\text{，}\cdots \text{，}{z}_n$は$y_1\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$を任意に並べ替えたものとするとき，

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{(x_i-y_i)}^2\leqq {\displaystyle \sum _{i=1}^n}{(x_i-z_i)}^2$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1$とする．辺$\mathrm{OA}$を含む直線を$l\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を含む直線を$m$とする．$▵\mathrm{ABP}$の外接円が$l\text{，}m$に接するとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とし，$1$回の対戦で勝つ確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のチームが$n$回試合をする．以下の問いに答えよ．

(1)　第$1$試合から連勝する回数（$0$回，$1$回も含む）の期待値を求めよ．

(2)　最初の$k$試合（$1\leqq k\leqq n$）における勝ち試合数を$t_k$として，$a_k={\displaystyle \frac{t_k}{k}}$とおく．$1\leqq m\leqq n-1$として，

$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_m\text{，}{a}_m>a_{m+1}$

となる確率$p_m$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{m=1}^{n-1}}m{p}_m$を求めよ．

【４】　$xy$平面の点$(-1,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,4)$を結んでできる折れ線をグラフとする関数を$y=f(x)$とおく．このとき，積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)-(a|x|+b)\}}^{2}dx$

を最小にする$a\text{，}b$を求めよ．また，そのときの積分の値を求めよ．

【２】　$b$は$|b|\geqq 3$を満たす整数とする．$2$次方程式$x^2+bx+1=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$0$以上のすべての整数$n$に対して${\alpha }^n+{\beta }^n$は整数であることを示せ．

(2)　$|\alpha |>|\beta |$とする．${\alpha }^n$から最も近い整数と${\alpha }^n$との差を$d_n$とする．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$を求めよ．

【３】　$xy$平面上で，原点を中心とする角$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$の回転を行い，さらに直線$y=x$に関する対称移動を行う．これが直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動と一致するとき，$\theta$の値を求めよ．

【４】　$f(x)=\sqrt{x+2}$として，数列$x_1\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots$を

$x_1=0\text{，}{x}_n=f(x_{n-1})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して

$2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}<x_n<x_{n+1}<2$

が成り立つことを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して

$x_n<2-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n$

が成り立つことを示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$x_n<2-{\alpha }^n$を満たす正の定数$\alpha$のうち，最大のものを求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で$\cos (\pi \cos x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$x$の個数を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で$\cos (\pi \cos x)=\cos x$を満たす$x$の個数を求めよ．

【６】　$xy$平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(x-1)}^2+y^2\leqq 1\\ 0\leqq x\leqq 1\\ y\geqq 0\end{array}$

の表す領域を$A$とする．これを座標空間内で$z$軸の方向に$1$だけ平行移動するときに$A$が通過してできる立体を$B$とする．$B$を$x$軸のまわりに，$y$軸から$z$軸の方向に$90\dot{}$回転させたときに通過してできる立体を$C$とする．$C$の体積を求めよ．