2010　筑波大学　前期MathJax

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}a{x}^2$とおく．ただし$a>0$とする．

(1)　$f(-1)\leqq f(3)$となる$a$の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の極小値が$f(-1)$以下となる$a$の範囲を求めよ．

(3)　$-1\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．

【２】　$3$つの曲線

$C_1:y=\sin x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$C_2:y=\cos x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$C_3:y=\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点，$C_2$と$C_3$の交点，$C_3$と$C_1$の交点のぞれぞれについて$y$座標を求めよ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　$n$を自然数とし，$1$から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式${\displaystyle {\int }_{k-1}^k}f(x)dx\leqq f(k)$を示せ．

(2)　不等式${\displaystyle {\int }_1^n}\log xdx\leqq \log n!$を示し，不等式$n^n{e}^{1-n}\leqq n!$を導け．

(3)　$x\geqq 0$に対して，不等式$x^n{e}^{1-x}\leqq n!$を示せ．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{（}90°<\theta <180°\text{）}$をとり，以下の条件をみたす$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を考える．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1$

　また，$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{OCD}$の面積を$S_2$とおく．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．

(2)　$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．

(3)　$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．

【５】　$a$を実数とし，$A=\left(\begin{array}{cc}a+1& a\\ 3& a+2\end{array}\right)$とする．$2$点$\mathrm{P}(x,y)\text{，}\mathrm{Q}(X,Y)$について

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

が成り立つとき，$\mathrm{P}$は$A$により$\mathrm{Q}$に移るという．

(1)　原点以外の点で，$A$によりそれ自身に移るものが存在するとき，$a$を求めよ．

(2)　次の条件(＊)をみたす$a\text{，}k$を求めよ．

(＊)　直線$l:y=kx+1$上のすべての点は，$A$により$l$上の点に移る．

(3)　(＊)をみたす$a\text{，}k$に対し，直線$l$上の点で，$A$によりそれ自身に移るものを求めよ．

【６】　直線$l:mx+ny=1$が，楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$に接しながら動くとする．

(1)　点$(m,n)$の軌跡は楕円になることを示せ．

(2)　$C$の焦点${\mathrm{F}}_1(-\sqrt{a^2-b^2},0)$と$l$との距離を$d_1$とし，もう$1$つの焦点${\mathrm{F}}_2(\sqrt{a^2-b^2},0)$と$l$との距離を$d_2$とする．このとき$d_1{d}_2=b^2$を示せ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【４】必須

社会・国際学群

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学III・C選択者　【２】か【３】から１題，【５】か【６】から1題選択

人間学群

　教育学類，障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　　数学III選択者　【２】，【３】必須

　　数学C選択者　【５】，【６】必須

　心理学類　【１】，【４】必須，【２】，【３】，【５】，【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択

　地球学類　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

理工学群

　数学類，物理学類，化学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

　応用理工学類，工学システム学類

　　　【２】，【３】必須，【１】と【４】〜【６】から２題選択

　社会工学類

　　　【２】，【３】必須，【１】か【４】から1題，【５】か【６】から1題選択

情報学群

　情報科学類，情報メディア創成学類

　　　【１】，【２】，【３】，【４】必須， 【５】か【６】から1題選択

　知識情報・図書館学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　　数学II・数学C選択者　【１】必須，【５】，【６】から1題選択

　　数学III・数学B選択者　【４】必須，【２】，【３】から1題選択

　　数学III・数学C選択者　【２】か【３】から1題，【５】か【６】から1題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択