2010　筑波大学　2学期推薦理工学群工学システム学類MathJax

【１】　図に示すように底辺が$1$辺の長さ$a$の正方形であり，頂点$\mathrm{A}$が底面の中心点を通る垂線上にある高さ$h$の$4$角錐を考える．

問1.　$4$角錐の表面積を$S$とするとき，$S$を$a$と$h$を用いて表せ．

問2.　$a$を$h$と$S$を用いて表せ．

問3.　$4$角錐の体積$V$が${\displaystyle \frac{1}{3}}{a}^{2}h$となることを積分を用いて示せ．

問4.　$S$の値が一定のとき，$V$を最大とするような$h$と$a$の比率を求めよ．

【２】　媒介変数$\theta$によって次のように定義される$xy$平面上の曲線を考える．但し，$a$は正の数である．

$x=a{\cos }^3\theta y=a{\sin }^3\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

この曲線と$x$軸，$y$軸で囲まれる領域の面積$S={\displaystyle {\int }_0^a}ydx$を以下のようにして求めることを考える．

問1.　$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^n\theta d\theta$とするとき，$S$を$I_6$と$I_4$を用いて表せ．但し，$n$は$0$以上の整数である．

問2.　$F(\theta )=\cos \theta \cdot {\sin }^{n+1}\theta$とする時，${\displaystyle \frac{dF}{d\theta }}$を$\sin \theta$の関数として表せ．

問3.　問2.の結果を利用して，$I_{n+2}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}\cdot I_n$となることを示せ．

問4.　$S$の値を求めよ．