2010　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　平面上の点$(a,b)$は円$x^2+y^2-100=0$上を動き，点$(c,d)$は円$x^2+y^2-6x-8y+24=0$上を動くものとする．

(1)　$ac+bd=0$を満たす$(a,b)$と$(c,d)$の例を一組あげよ．

(2)　$ac+bd$の最大値を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$3$つの放物線$y=4x^2\text{，}y=2x^2+2\text{，}y={(x-a)}^2$のうち少なくとも$2$つの上にある点の個数を$m$とする．

(1)　$a=1$のとき$m$の値を求めよ．

(2)　$a=3$のとき$m$の値を求めよ．

(3)　$1<a<3$のとき$m$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が漸化式

$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n\text{，}{a}_1=-1\text{，}{a}_2=3$

で定められているとする．$p_n=a_{n+1}-a_n\text{，}{q}_n=a_{n+1}+2a_n$とおく．

(1)　$p_{n+1}=-2a_n\text{，}{q}_{n+1}=q_n$となることを示し，数列$\{p_n\}$の一般項と数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$は漸化式

$b_{n+2}=-b_{n+1}+2b_n+1\text{，}{b}_1=0\text{，}{b}_2=3$

で定められているとする．$b_{n+1}-b_n=a_{n+1}$となることを示し，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$l$とする．円$C$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は弦$\mathrm{AB}$が$l$と交わらないように動くものとする．$l$を軸として弦$\mathrm{AB}$を回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$l$は円$C$と同一平面上にあるものとする．

(1)　弦$\mathrm{AB}$の長さを一定とするならば，弦$\mathrm{AB}$が$l$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．

(2)　弦$\mathrm{AB}$の長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．