2010　埼玉大学　前期(理,工学部)MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の表す$1$次変換$f$は，点$(1,1)$を点$(2,3)$に，点$(2,-1)$を点$(2k,-k-1)$に移すとする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，点$(1,0)\text{，}(0,1)$を$f$で移した点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

(1)　$A$の成分$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$k$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$k$を求めよ．

(3)　$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$となる$k$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を$9$以下の自然数とし，$2$次式$f(x)=a{x}^2-bx+c$を考える．このとき，$f(x)$が次の条件を満たすような組$(a,b,c)$はそれぞれ何通りあるか．

(1)　$f(1)=0$である．

(2)　$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．

(3)　$f(1)=0$または$f(2)=0$である．

(4)　$2$次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．

【３】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{9+16{\sin }^{2}x}}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分

${\displaystyle {\int }_a^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$

を求めよ．

【４】　平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が，

$x=2t-t^2\text{，}y=1-t^2\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

で与えられているとする．このとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とおく．

(1)　$0<t<1$の範囲で，点$\mathrm{P}$の速さ（速度の大きさ）が最小になる時刻$t$を求めよ．

(2)　(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　接線$l$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．

(4)　曲線$C\text{，}$接線$l$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$を次のように定める．

(ア)　$a_1=1$とする．

(イ)　$a_n\geqq {\displaystyle \frac{5}{4}}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n-1$とする．

(ウ)　$a_n<{\displaystyle \frac{5}{4}}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n+2$とする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_6$を求めよ．

(2)　$a_{4m-1}=5m\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$a_n>2010$となる最小の$n$を求めよ．

【４】　放物線$C:y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$を考える．$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して，点$(a^3,{\displaystyle \frac{3a^2}{2}}+1)$を$\mathrm{P}$で表す．

(1)　点$\mathrm{P}$と$C$上の点$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}})$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$t$に対して，点$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}})$を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{Q}$における$C$の接線と，直線$\mathrm{PQ}$は直交することを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$との距離が最大となるように$a$を定めよ．