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2010 埼玉大学 後期理・工学部

易□ 並□ 難□

【1】  f( x)= 0xt cos3 td t とおく.

(1)  f( x) を計算せよ.

(2)  0x π の範囲で,関数 | f( x) | の最大値を求めよ.

2010 埼玉大学 後期理・工学部

易□ 並□ 難□

【2】 各面に 1 から 8 までの数字が 1 つずつ書かれた正八面体のさいころをくり返し投げ, n 回目までに出た数字の合計を X ( n) とする. X( n) 3 で割り切れる確率を an X (n ) 3 で割ったとき 1 余る確率を bn X ( n) 3 で割ったとき 2 余る確率を c n とする.次の問いに答えよ.ただし, 1 から 8 までの数字の出る確率はどれも同じとする.

(1)  a1 b1 c1 を求めよ.

(2)  an+ 1 b n+1 cn+ 1 an b n cn を用いて表せ.

(3)  an+ 1 a n を用いて表せ.

(4)  an bn cn を求めよ.

2010 埼玉大学 後期理・工学部

易□ 並□ 難□

【3】 空間ベクトル a a= (1, 1,1 ) で定める.次の問いに答えよ.

(1)  a に垂直で, x 成分が正, y 成分が 0 であるような単位ベクトル b を求めよ.

(2)  a b の両方に垂直で, x 成分が正であるような単位ベクトル c を求めよ.

(3) 空間ベクトル p= ra +s b +t c r s t は実数)が,

|p + a |= | p -a |= 2

を満たすことと,

r=0 s2 +t2 =1

であることは同値であることを示せ.

(4)  d =( 6,0 ,0) とおく.ベクトル p を満たすとき, |p - d | の最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 曲線 C y= 3 x( x2- 1) を考える.曲線 C の接線のうち,傾きが 0 で,接点の y 座標が正のものを l とする.

(1) 接線 l の方程式を求めよ.

(2) 曲線 C 3 本の接線 l m n によって囲まれる図形が正三角形になるような接線 m n の組み合わせをすべて求めよ.ただし,接線 m の傾きは正とする.

(3) (2)で求めた m n に対して, l m n の囲む正三角形の面積を求めよ.

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