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2010-10221-0301
2010 埼玉大学 後期理・工学部
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡( x)= ∫ 0xt ⁢cos⁡3 ⁢t⁢d t とおく.
(1) f⁡( x) を計算せよ.
(2) 0≦x ≦π の範囲で,関数 | f⁡( x) | の最大値を求めよ.
2010-10221-0302
【2】 各面に 1 から 8 までの数字が 1 つずつ書かれた正八面体のさいころをくり返し投げ, n 回目までに出た数字の合計を X ⁡( n) とする. X⁡( n) が 3 で割り切れる確率を an ,X ⁡(n ) を 3 で割ったとき 1 余る確率を bn ,X ⁡( n) を 3 で割ったとき 2 余る確率を c n とする.次の問いに答えよ.ただし, 1 から 8 までの数字の出る確率はどれも同じとする.
(1) a1 , b1 , c1 を求めよ.
(2) an+ 1 ,b n+1 , cn+ 1 を an ,b n ,cn を用いて表せ.
(3) an+ 1 を a n を用いて表せ.
(4) an , bn , cn を求めよ.
2010-10221-0303
【3】 空間ベクトル a → を a→= (1, 1,1 ) で定める.次の問いに答えよ.
(1) a→ に垂直で, x 成分が正, y 成分が 0 であるような単位ベクトル b → を求めよ.
(2) a→ , b→ の両方に垂直で, x 成分が正であるような単位ベクトル c → を求めよ.
(3) 空間ベクトル p→= r⁢a →+s ⁢b→ +t⁢ c→ ( r , s ,t は実数)が,
|p →+ a→ |= | p→ -a→ |= 2 ⋯ ①
を満たすことと,
r=0 , s2 +t2 =1 ⋯ ②
であることは同値であることを示せ.
(4) d→ =( 6,0 ,0) とおく.ベクトル p → が ① を満たすとき, |p →- d→ | の最小値を求めよ.
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【4】 曲線 C :y= 3⁢ x⁢( x2- 1) を考える.曲線 C の接線のうち,傾きが 0 で,接点の y 座標が正のものを l とする.
(1) 接線 l の方程式を求めよ.
(2) 曲線 C の 3 本の接線 l , m ,n によって囲まれる図形が正三角形になるような接線 m , n の組み合わせをすべて求めよ.ただし,接線 m の傾きは正とする.
(3) (2)で求めた m , n に対して, l ,m , n の囲む正三角形の面積を求めよ.