2010　千葉大学　前期MathJax

【１】　直角三角形$\mathrm{ABC}$は，$\angle \mathrm{C}$が直角で，各辺の長さは整数であるとする．辺$\mathrm{BC}$の長さが$3$以上の素数$p$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．

(2)　$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．

【２】　$1$辺の長さが$2$の正六角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_6$を考える．さいころを$3$回投げ，出た目を順に$i\text{，}j\text{，}k$とするとき，$▵{\mathrm{A}}_i{\mathrm{A}}_j{\mathrm{A}}_k$の面積を$2$乗した値を得点とする試行を行う．ただし，$i\text{，}j\text{，}k$の中に互いに等しい数があるときは，得点は$0$であるとする．

(1)　得点が$0$となる確率を求めよ．

(2)　得点が$27$となる確率を求めよ．

(3)　得点の期待値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さは$1\text{，}$頂点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{CA}$に下ろした垂線の長さは$\sqrt{2}\text{，}$頂点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の長さは$2$である．

　このとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積と，内接円の半径，および，外接円の半径を求めよ．

【４】　$a$を実数とする．関数$f(x)=x^2-a|x-2|+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}$の最小値を$a$を用いて表せ．

【５】　放物線$y=x^2$と直線$y=ax+b$によって囲まれる領域を

$D=\{(x,y)|x^2\leqq y\leqq ax+b\}$

とし，$D$の面積が${\displaystyle \frac{9}{2}}$であるとする．座標平面上で，$x$座標，$y$座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ．

(1)　$a=0$のとき，$D$に含まれる格子点の個数を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が共に整数であるとき，$D$に含まれる格子点の個数は，$a\text{，}b$の値によらず一定であることを示せ．

【６】　数直線の原点上にある点が，以下の規則で移動する試行を考える．

（規則）サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に$1$移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に$1$移動する．

　$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．

(1)　$X(10)=0$である確率を求めよ．

(2)　$X(1)\ne 0\text{，}X(2)\ne 0\text{，}\cdots \text{，}X(5)\ne 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．

(3)　$X(1)\ne 0\text{，}X(2)\ne 0\text{，}\cdots \text{，}X(9)\ne 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．

【７】　$▵\mathrm{ABC}$は，$1$辺の長さが$1$の正三角形で，$t$は正の実数とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．

　直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t\overrightarrow{c}$をみたしている．正三角形$▵\mathrm{ADE}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．

(2)　$t$が正の実数全体を動くとき，$▵\mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．

【８】　$a\text{，}b$は実数とする．関数$f(x)$は，

$f(x)=a\sin x+b\cos x+{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(t)\cos tdt$

をみたし，かつ，$-\pi \leqq x\leqq \pi$における最大値は$2\pi$である．このとき，

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\{f(x)\}}^{2}dx$

を最小にする$a\text{，}b$の値と，その最小値を求めよ．

【９】　$a$を$1$より大きい実数とし，座標平面上に，点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)$をとる．

　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上の点$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{1}{p}})$と，曲線$y={\displaystyle \frac{a}{x}}$上の点$\mathrm{Q}(q,{\displaystyle \frac{a}{q}})$が，$3$条件

(1)　$p>0\text{，}q>0$

(2)　$\angle \mathrm{AOP}<\angle \mathrm{AOQ}$

(3)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積は$3$に等しい

をみたしながら動くとき，$\tan \angle \mathrm{POQ}$の最大値が${\displaystyle \frac{3}{4}}$となるような$a$の値を求めよ．

【10】　以下の問いに答えよ．

(1)　$3^n=k^3+1$をみたす正の整数の組$(k,n)$をすべて求めよ．

(2)　$3^n=k^2-40$をみたす正の整数の組$(k,n)$をすべて求めよ．

【11】　$f(x)$は実数全体で定義された関数とする．実数$a$に関する条件(P)を考える．

(P)　正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x)\leqq f(a)$が成り立つ．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　実数$a$が条件(P)をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^{\prime }(a)=0$であることを証明せよ．

(2)　関数$f(x)$が

$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x|-x& \text{（}x<1\text{のとき）}\\ |x^2-6x+8|& \text{（}x\geqq 1\text{のとき）}\end{array}$

で定義されているとき，条件(P)をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．

(3)　一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．

(命題)　すべての実数$a$が条件(P)をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．

志望別問題選択一覧

教育学部

　算数科選修，理科教育分野，技術科教育分野　【１】，【２】，【３】，【４】

　情報教育分野　【３】，【４】，【５】，【６】

　数学科教育分野　【１】，【３】，【４】，【５】，【６】，【７】

文学部　行動科学科　【２】，【３】，【４】，【５】

法経学部　【２】，【３】，【４】，【５】

園芸学部　【３】，【４】，【５】，【６】

理学部

　生物学科，地球科学科　【２】，【４】，【５】，【７】，【８】

　物理学科，化学科　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】

　数学・情報数理学科　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】，【11】

薬学部　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】

工学部

　建築学科，都市環境システム学科，デザイン学科

　　【２】，【４】，【５】，【７】，【８】

　機械工学科，メディカルシステム工学科，電気電子工学科，

　ナノサイエンス学科，共生応用化学科，画像科学科，情報画像学科

　　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】

先進科学プログラム　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】

医学部　【５】，【６】，【９】，【10】，【11】