2010　千葉大学　後期理学部数学・情報数理学科MathJax

【１】　袋の中に$1\text{，}2\text{，}3$の数字が書かれた球がそれぞれ$1$個ずつ入っている．この袋から球を$1$個取り出し，球に記入された数字を記録して元へ戻すという操作を繰り返す．それまでに記録された数の和が素数になった時点でこの操作を終了するものとする．ただし$1$は素数ではない．終了までに球を取り出す回数を$X$として，次の問いに答えよ．

(1)　$X=3$となる確率を求めよ．

(2)　$X\leqq 6$となる確率を求めよ．

【２】　$n$を正の整数とする．座標平面上の点$(0,-1)$から曲線$C_n\text{：}y=n{(\log x)}^2$に引いた接線の中で，接点の$x$座標が最も小さいものを考え，その接点の$x$座標を$a_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表す．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }n\log a_n$の値を求めよ．

(2)　曲線$C_n\text{，}$直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S_n$を$n$と$a_n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n(a_n-1)$の値を求めよ．

補足説明：次の式は用いてよい．

${\displaystyle \int }\log xdx=x\log x-x+C$（$C$は積分定数）

【３】　$a$を正の実数とする．曲線$y=x^3-x$と円${(x-a)}^2+{(y-a)}^2=2a^2$の共有点がちょうど$2$つであるとする．このとき，共有点の$x$座標を求めよ．

【４】　$C$を$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$で定義された放物線とする．点$\mathrm{P}(a,b)$を通る$C$の法線が$3$本存在するための$a\text{，}b$についての必要十分条件を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を正の整数とする．$x_0\text{，}{x}_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$を閉区間$0\leqq x\leqq 1$上の相異なる点とする．このとき，$0<x_k-x_j\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$をみたす$j\text{，}k$が存在することを示せ．

(2)　$\omega$を正の無理数とする．任意の正の整数$n$に対して，$0<l\omega +m\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$をみたす整数$l\text{，}m$が存在することを示せ．

【６】　辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{PQRS}$を考える．$▵\mathrm{ABC}$の各頂点が正方形$\mathrm{PQRS}$の辺上にあるとする．$▵\mathrm{ABC}$の最短の辺の長さを$\min (▵\mathrm{ABC})$と書く．次の問いに答えよ．

(1)　与えられた$▵\mathrm{ABC}$に対して，次のような$▵\mathrm{DEF}$が存在する事を示せ：

各頂点が正方形$\mathrm{PQRS}$の辺上にあり，そのうち$1$点は正方形$\mathrm{PQRS}$の頂点にある．また，$\min (▵\mathrm{ABC})\leqq \min (▵\mathrm{DEF})$である．

(2)　点$\mathrm{A}$が点$\mathrm{P}$と一致するとき，$\min (▵\mathrm{ABC})\leqq {\displaystyle \frac{1}{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}}}$を示せ．

(3)　正方形$\mathrm{PQRS}$の辺上に$3$頂点がある正三角形の$1$辺の長さの最大値は${\displaystyle \frac{1}{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}}}$であることを示せ．