2010　千葉大学　後期医学部医学科総合テストMathJax

2010-10241-0301

2010　千葉大学　後期医学部医学科

総合テストの一部

易□　並□　難□

【２Ａ】　 $k$ を自然数とする． $0$ 以上の整数 $n$ に対して， $g_{n} = k^{k^{n}} + 1$ とおく．次の問いに答えよ．ただし， $k^{k^{n}}$ は $k$ の $k^{n}$ 乗を表す．

(1)　 $k$ が偶数のとき， $g_{n}$ と $g_{n + 1}$ は互いに素であることを示せ．

(2)　 $k$ が奇数のとき， $g_{n}$ は $g_{n + 1}$ の約数であることを示せ．

(3)　 $k$ が奇数のとき， $g_{n}$ と $\frac{g_{n + 1}}{g_{n}}$ は互いに素であることを示せ．

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2010　千葉大学　後期医学部医学科

総合テストの一部

易□　並□　難□

【２Ｂ】　 $A = (\begin{matrix} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{matrix})$ とする． $x_{0} = y_{0} = 1$ とし， $x_{n} ， y_{n}$ を $(\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} x_{n - 1} \\ y_{n - 1} \end{matrix}) （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ で定義する．また $a ， b$ を $3 a^{2} - 2 b^{2} = 1 ， a ≧ 9 ， b ≧ 11$ を満たす実数とし， $c ， d$ を $(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = A^{- 1} (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $3 c^{2} - 2 d^{2} = 1$ を示せ．

(2)　 $c ≧ 1 ， d ≧ 1$ を示せ．

(3)　 $a < x_{n + 1}$ ならば， $c < x_{n}$ であることを示せ．

(4)　(3)を示したのと同様に次が示せる．

$x_{n} ≦ a < x_{n + 1}$ ならば $x_{n - 1} ≦ c < x_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

このことを使って， $3 x^{2} - 2 y^{2} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ は

$(x_{n}, y_{n}) （ n = 0 ， 1 ， 2 ， \dots ）$

に限ることを示せ．

2010 千葉大学 後期医学部医学科総合テストMathJax

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