2010　東京大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(-3,0)$をとり，$0°<\theta <120°$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を考える．

(ⅰ)　$\mathrm{B}$は$y>0$の部分にあり，$\mathrm{OB}=2$かつ$\angle \mathrm{AOB}=180°-\theta$である．

(ⅱ)　$C$は$y<0$の部分にあり，$\mathrm{OC}=1$かつ$\angle \mathrm{BOC}=120°$である．ただし$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{O}$を含むものとする．

　以下の問(1)，(2)に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$と$▵\mathrm{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．

(2)　$\theta$を$0°<\theta <120°$の範囲で動かすとき，$▵\mathrm{OAB}$と$▵\mathrm{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して

$f(x+1)=c{\displaystyle {\int }_0^1}(3x^2+4xt)f^{\prime }(t)dt$

が$x$についての恒等式になるような定数$a\text{，}b\text{，}c$の組をすべて求めよ．

【３】　$2$つの箱$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}\text{，}$ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で出るコイン$1$枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．$\mathrm{L}$に$x$個，$\mathrm{R}$に$30-x$個のボールを入れ，次の操作(＃)を繰り返す．

(＃)　箱$\mathrm{L}$に入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱$\mathrm{R}$から箱$\mathrm{L}$に，裏が出れば箱$\mathrm{L}$から箱$\mathrm{R}$に，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0\leqq z\leqq 15$のとき，$K(z)=z\text{，}16\leqq z\leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．

　$m$回の操作の後，箱$\mathrm{L}$のボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$P_1(15)=P_2(15)={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．

(1)　$m\geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．

【４】　$C$を半径$1$の円周とし，$\mathrm{A}$を$C$上の$1$点とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$を時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は反時計回りに，$\mathrm{R}$は時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の速さは，それぞれ$m\text{，}1\text{，}2$であるとする．（したがって，$\mathrm{Q}$は$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq 10$をみたす整数である．$▵\mathrm{PQR}$が$\mathrm{PR}$を斜辺とする直角三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

【１】　$3$辺の長さが$a$と$b$と$c$の直方体を，長さが$b$の$1$辺を回転軸として$90°$回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体を$V$とする．

(1)　$V$の体積を $a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$a+b+c=1$のとき，$V$の体積のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】(1)　すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{1}{2(k+1)}}<{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1-x}{k+x}}dx<{\displaystyle \frac{1}{2k}}$

(2)　$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}}<\log {\displaystyle \frac{m}{n}}-{\displaystyle \sum _{k=n+1}^m}{\displaystyle \frac{1}{k}}<{\displaystyle \frac{m-n}{2mn}}$

【３】　$2$つの箱$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}\text{，}$ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で出るコイン$1$枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．$\mathrm{L}$に$x$個，$\mathrm{R}$に$30-x$個のボールを入れ，次の操作(＃)を繰り返す．

(＃)　箱$\mathrm{L}$に入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱$\mathrm{R}$から箱$\mathrm{L}$に，裏が出れば箱$\mathrm{L}$から箱$\mathrm{R}$に，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0\leqq z\leqq 15$のとき，$K(z)=z\text{，}16\leqq z\leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．

　$m$回の操作の後，箱$\mathrm{L}$のボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$P_1(15)=P_2(15)={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．

(1)　$m\geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線

$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+2}$

とその上の相異なる$2$点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$を考える．

(1)　${\mathrm{P}}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{）}$を通る$x$軸に平行な直線と，直線$y=x$との交点を，それぞれ${\mathrm{H}}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{）}$とする．このとき$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{H}}_1$と$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{H}}_2$の面積は等しいことを示せ．

(2)　$x_1<x_2$とする．このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と，線分${\mathrm{P}}_1\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{P}}_2\mathrm{O}$とで囲まれる図形の面積を，$y_1\text{，}{y}_2$を用いて表せ．

【６】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{AB}=2$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を含む平面を$L$とする．

(1)　点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{P}}_t\text{，}{\mathrm{Q}}_t$とおく．$2$点${\mathrm{P}}_t\text{，}{\mathrm{Q}}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．