2010　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を相違なる正の実数とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　次の$2$数の大小を比較せよ．

$a^3+b^3\text{，}{a}^{2}b+b^{2}a$

(2)　次の$4$数の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\text{，}(a+b+c)(ab+bc+ca)\text{，}$

$3(a^3+b^3+c^3)\text{，}9abc$

(3)　$x\text{，}y\text{，}z$を正の実数とするとき

${\displaystyle \frac{y+z}{x}}+{\displaystyle \frac{z+x}{y}}+{\displaystyle \frac{x+y}{z}}$

のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　座標空間において，$8$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{D}(0,1,1)\text{，}\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}\mathrm{F}(1,1,0)\text{，}\mathrm{G}(1,1,1)$をとり，この$8$点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点$\mathrm{P}(x,y,z)$と正の実数$t$に対し，$6$点$(x+t,y,z)\text{，}(x-t,y,z)\text{，}(x,y+t,z)\text{，}(x,y-t,z)\text{，}(x,y,z+t)\text{，}(x,y,z-t)$を頂点とする正八面体を${\alpha }_t(\mathrm{P})\text{，}$その外部の領域を${\beta }_t(\mathrm{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$0<t\leqq 1$のとき，$Q\cap {\beta }_t(\mathrm{O})\cap {\beta }_t(\mathrm{D})\cap {\beta }_t(\mathrm{E})\cap {\beta }_t(\mathrm{F})$の体積，すなわち$5$個の領域$Q\text{，}{\beta }_t(\mathrm{O})\text{，}{\beta }_t(\mathrm{D})\text{，}{\beta }_t(\mathrm{E})\text{，}{\beta }_t(\mathrm{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ．

(2)　$Q\cap {\alpha }_1(\mathrm{O})\cap {\beta }_1(\mathrm{A})\cap {\beta }_1(\mathrm{B})\cap {\beta }_1(\mathrm{C})$の体積を求めよ．

(3)　$0<t\leqq 1$のとき，

$Q\cap {\beta }_t(\mathrm{O})\cap {\beta }_t(\mathrm{A})\cap {\beta }_t(\mathrm{B})\cap {\beta }_t(\mathrm{C})\cap {\beta }_t(\mathrm{D})\cap {\beta }_t(\mathrm{E})\cap {\beta }_t(\mathrm{F})\cap {\beta }_t(\mathrm{G})$

の体積を$t$で表せ．

【３】　$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．

$C:x^2+y^2=1$

$E:x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$

また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,t)$における$C$の接線を$l$とする．

　このとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を$s\text{，}t$を用いて表せ．

　以下，$t>0$とし，$E$が$l$から切り取る線分の長さを$L$とする．

(2)　$L$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．

(4)　$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$l$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．

【２】　座標空間において，$8$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{D}(0,1,1)\text{，}\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}\mathrm{F}(1,1,0)\text{，}\mathrm{G}(1,1,1)$をとり，この$8$点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点$\mathrm{P}(x,y,z)$と正の実数$t$に対し，$6$点$(x+t,y,z)\text{，}(x-t,y,z)\text{，}(x,y+t,z)\text{，}(x,y-t,z)\text{，}(x,y,z+t)\text{，}(x,y,z-t)$を頂点とする正八面体を${\alpha }_t(\mathrm{P})\text{，}$その外部の領域を${\beta }_t(\mathrm{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$0<t\leqq 1$のとき，$Q$と${\alpha }_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q\cap {\alpha }_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ．

(2)　$Q\cap {\beta }_1(\mathrm{O})\cap {\beta }_1(\mathrm{D})\cap {\beta }_1(\mathrm{E})\cap {\beta }_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<t\leqq 1$のとき，$Q\cap {\alpha }_t(\mathrm{O})\cap {\alpha }_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ．

(4)　$t$が$0<t\leqq 1$の範囲で変化するとき，$Q\cap {\alpha }_t(\mathrm{O})\cap {\beta }_t(\mathrm{A})\cap {\beta }_t(\mathrm{B})\cap {\beta }_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ．