2010　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=1-\cos x-x\sin x$とする．

(1)　$0<x<\pi$において，$f(x)=0$は唯一の解を持つことを示せ．

(2)　$J={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|f(x)|dx$とする．(1)の唯一の解を$\alpha$とするとき，$J$を$\sin \alpha$の式で表せ．

(3)　(2)で定義された$J$と$\sqrt{2}$の大小を比較せよ．

【２】　$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式

(＊)　$x=[{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{a}{x}}\left)\right]$

が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$とする．ここに$\left[\right]$はガウス記号で，実数に対し，$\left[u\right]$は$u$以下の最大の整数を表す．

(1)　$a=7\text{，}8\text{，}9$の各々について(＊)の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．

(2)　$a_1\text{，}{a}_2$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$を求めよ．

【３】　$1$から$n$までの数字がもれなく一つずつ書かれた$n$枚のカードの束から同時に$2$枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さい方が$3$の倍数である確率を$p(n)$とする．

(1)　$p(8)$を求めよ．

(2)　正の整数$k$に対し，$p(3k+2)$を$k$で表せ．

【４】　$a$を正の定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に定点$\mathrm{A}=\mathrm{A}(a,0)$と，$\mathrm{A}$と異なる動点$\mathrm{P}=\mathrm{P}(x,y)$を取る．次の条件

$\mathrm{A}\text{から}\mathrm{P}\text{に向けた半直線上の点}\mathrm{Q}\text{に対し}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AP}}}\leqq 2\text{ならば}{\displaystyle \frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{OQ}}}\leqq {\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{OA}}}$

を満たす$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．$D$を図示せよ．