2010　東京工業大学　後期数学MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}t$は実数で，$a\geqq 0>b$とする．次の漸化式により，数列$a_n\text{，}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を定める．

$a_1=a\text{，}{b}_1=b$

$a_{n+1}=({\displaystyle \frac{t}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{t^2+1}})a_n+({\displaystyle \frac{t}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{t^2+1}})b_n$

$b_{n+1}=({\displaystyle \frac{t}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{t^2+1}})a_n+({\displaystyle \frac{t}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{t^2+1}})b_n$

(1)　$a_n$を$a\text{，}b\text{，}t\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$n\to \infty$とするとき，$a_n$が収束するための$a\text{，}b\text{，}t$についての必要十分条件を求めよ．

【２】　座標平面上で$y={(\log x)}^2\text{（}x>0\text{）}$の表す曲線を$C$とし，$\alpha >0$に対し，点$(\alpha ,{(\log \alpha )}^2)$における$C$の接線を$L(\alpha )$で表す．

(1)　$C$のグラフの概形を描け．

(2)　$C$と$L(\alpha )$との共通点の個数を$n(\alpha )$とする．$n(\alpha )$を求めよ．

(3)　$0<\alpha <1$とし，$C$と$L(\alpha )$および$x$軸とで囲まれる領域の面積を$S(\alpha )$とする．$S(\alpha )$を求めよ．