2010　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　はじめに$A=1\text{，}B=-1$とする．$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．

$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．

$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．

　なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．

(1)　はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率をもとめよ．

(2)　はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．

【２】　$xy$平面上に$2$つの円

$C_1:x^2+y^2=16$

$C_2:{(x-6)}^2+y^2=1$

がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$上の点$(a,b)$を接点とする接線の方程式を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$を通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．

【３】(1)　連立不等式

$|x-y|\leqq 1\text{，}|x|\leqq 3$

の表す$xy$平面上の領域$D$を図示せよ．

(2)　実数$a$に対して，放物線$y={(x-a)}^2$が(1)の領域$D$と共通点をもつような$a$の範囲を求めよ．

(3)　実数$a$に対して，連立不等式

$|x-y|\leqq 1\text{，}|x|\leqq 3\text{，}y\geqq {(x-a)}^2$

の表す$xy$平面上の領域$E$の面積を$a$を用いて表せ．ただし，$a\leqq 1$とする．

【２】　$xy$平面上に$2$つの円

$C_1:x^2+y^2=16$

$C_2:{(x-6)}^2+y^2=1$

がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．

【３】(1)　連立不等式

$|x-y|\leqq 1\text{，}|x|\leqq 3$

の表す$xy$平面上の領域$D$を図示せよ．

(2)　実数$a$に対して，放物線$y={(x-a)}^2$が(1)の領域$D$と共通点をもつような$a$の範囲を求めよ．

(3)　実数$a$に対して，連立不等式

$|x-y|\leqq 1\text{，}|x|\leqq 3\text{，}y\geqq {(x-a)}^2$

の表す$xy$平面上の領域$E$の面積を$a$を用いて表せ．

【３】　実数上の関数$f(x)\text{，}g(x)$を次のように定義する．

$f(x)={\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{a^x+a^{-x}}{2}}$

　ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　この$2$つのグラフと$2$つの直線$x=0\text{，}x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．

(3)　(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2\leqq a\leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．