2010　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

【１】(1)　実数全体で定義された関数$f(x)=x-[x]$について，$-3\leqq x\leqq 3$での関数のグラフを図示せよ．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．

(2)　実数全体で定義された関数$g(x)=(x-[x])e^{-x}$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^n}g(x)dx$を求めよ．

【２】(1)　連立不等式

$|2x+3y|\leqq 5\text{，}|3y-2x|\leqq 3$

で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．

(2)　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(c,d)$に対し，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$を隣り合う$2$辺とする平行四辺形の面積は，$|ad-bc|$であることを示せ．

(3)　行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}s& t\\ u& v\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}k& l\\ m& n\end{array}\right)$について

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}s& t\\ u& v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}k& l\\ m& n\end{array}\right)$

が成り立つとき，

$(ad-bc)(sv-tu)=(kn-lm)$

を示せ．

(4)　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が$ad-bc\ne 0$をみたし，正の実数$h\text{，}k$が$hk=|ad-bc|$をみたすとき，

$|ax+by|\leqq h\text{，}|cx+dy|\leqq k$

で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}h\text{，}k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．

【３】　自然数$n$に対して，

$2\sqrt{n+1}-2<1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\leqq 2\sqrt{n}-1$

が成り立つことを示せ．

【４】　右図のような三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱$\mathrm{ABC-DEF}$を考える．

(1)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となるとき，その正三角形の面積を求めよ．

(2)　底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となりうることを示せ．

【１】(1)　曲線$y=2x-2^x$の概形を描け．

(2)　曲線$y=2x-2^x$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【２】　自然数の数列$\{a_n\}$が$a_1=1\text{，}2a_n\leqq a_{n+1}\leqq 3a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　第$5$項$a_5$の取り得る値の範囲を答えよ．

(2)　第$k$項$a_k$が$a_k=9$を満たす$k$の値と，そのときの初項から第$k$項までの候補をすべてあげよ．

(3)　第$n$項$a_n$が$a_n=100$を満たすとき，$n$の取り得る値の範囲を答えよ．