2010　お茶の水女子大学　後期理学部MathJax

【１】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんがじゃんけんで勝負をする．ただし，$n$回目まで出した手がすべてあいこの場合は，その時点で引き分けとしてじゃんけんをやめる．

　$\mathrm{A}$さんはじゃんけんをするとき，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$でグーを出し，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$でチョキを出し，確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$でパーを出す，とする．

　$\mathrm{B}$さんは勝つ確率を最も高くするために，どのような作戦をとればよいか．また，そのときの$\mathrm{B}$さんの勝つ確率を次の(1)，(2)，(3)の場合について考えよ．

(1)　$n=1$の場合．

(2)　$n=2$の場合．

(3)　$n=k$の場合．$k$は$2$より大きな自然数とする．

【２】　$p\text{，}q$を互いに素な自然数とする．自然数からなる数列$\{a_n\}$を

$a_1=p\text{，}{a}_2=q\text{，}{a}_{2n+1}=p(a_{2n-1}+a_{2n})\text{，}{a}_{2n+2}=q(a_{2n}+a_{2n+1})\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定める．このとき，すべての自然数$m$に対して，$a_m$と$a_{m+1}$が互いに素であることを証明せよ．

【３】　実数列$\{a_n\}$の各項はすべて正とする．すなわち，すべての自然数$k$に対して，$a_k>0$が成り立つものとする．このとき，自然数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$

とおく．

(1)　${\displaystyle \frac{S_{2n}-S_n}{n}}\times {\displaystyle \frac{T_{2n}-T_n}{n}}={\displaystyle \frac{(S_{2n}-S_n)(T_{2n}-T_n)}{n^2}}\geqq 1$

を示せ．

(2)　実数列$\{a_k\}$の各項が$a_k=k$となるとき，$n$によらず不等式

${\displaystyle \frac{S_n}{n^2}}\leqq 1$

が成り立つことを示せ．また，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=+\infty$

であることを示せ．ただし，後半部分を示すのに，次の事実は認めてよい．

$\underset{k\to \infty }{\lim }{T}_{2^k}=+\infty$が正しければ，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=+\infty$も正しい．

(3)　実数列$\{a_k\}$に対して，$n$によらず不等式

${\displaystyle \frac{S_n}{n^2}}\leqq 1$

が成り立つとする．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=+\infty$

であることを示せ．ただし，次の事実は認めてよい．

$\underset{k\to \infty }{\lim }{T}_{2^k}=+\infty$が正しければ，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=+\infty$も正しい．