2010　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　$n$を自然数とし，$x$を変数とする関数

$f_n(x)=(nx+n+1)e^x\text{，}{g}_n(x)=(nx+n-1)e^{-x}$

を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(ⅱ)　$g_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(ⅲ)　$x$軸と$y$軸および曲線$y=f_n(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．

(ⅳ)　$x$軸と$y$軸および曲線$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積$T_n$を求めよ．ただし，$n\geqq 2$とする．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}$を求めよ．

【２】　座標平面上を運動する動点$\mathrm{P}(x,y)$が時刻$t$の関数として

$x=t\cos \alpha \text{，}y=t\sin \alpha -t^2$

で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0\leqq \alpha <2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$l$とするとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　時刻$t=0$における動点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$\left|\overrightarrow{v}\right|$を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$が直線$l$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．

(ⅲ)　正の時刻において$\mathrm{P}$が$t$上の点を通るための$l$の範囲を求めよ．

以下では，$\alpha$は(ⅲ)で求めた範囲にあるとする．

(ⅳ)　正の時刻において$\mathrm{P}$が通る$l$上の点の$x$座標を求めよ．

(ⅴ)　(ⅳ)で求めた$l$上の点の$x$座標を$f(\alpha )$とし，$\alpha$を(ⅲ)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha )$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a(n)\}$を$a(1)=1$および$n\geqq 1$に対して

$\{\begin{array}{l}a(2n)=3a(n)\\ a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)\end{array}$

で定義する．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a(2)\text{，}a(3)\text{，}a(4)\text{，}a(5)$を求めよ．

次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n\geqq 2$に対して

$b(n)=a(n)-a(n-1)$

で定義する．

(ⅱ)　$b(2)\text{，}b(3)\text{，}b(4)\text{，}b(5)$を求めよ．

(ⅲ)　すべての自然数$n$に対して，

$\{\begin{array}{l}b(2n)=2b(n)\\ b(2n+1)=b(n+1)\end{array}$

が成り立つことを証明せよ．

(ⅳ)　自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ．

(ⅴ)　自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ．

【４】　実数$a$に対し，

$A=\left(\begin{array}{cc}1& a-2\\ a+1& -3\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とする．このとい，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．

(ⅱ)　$E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．

以下では，$a$を(ⅱ)で求めた値のうち正のものとする．

(ⅲ)　$A\left(\begin{array}{c}b\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ 3\end{array}\right)$となる$b$を求めよ．また，$A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$となる$k$を求めよ．

(ⅳ)　$b$を(ⅲ)で求めた値とし，$P=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$とする．$AP=PQ$となる$2$次の正方行列$Q$を求めよ．

(ⅴ)　自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．