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2010-10272-0101
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2010 一橋大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 実数 p ,q ,r に対して, 3 次多項式 f⁡ (x) を f⁡ (x) =x3 +p⁢x 2+q⁢ x+r と定める.実数 a ,c , および 0 でない実数 b に対して, a+b⁢ i と c はいずれも方程式 f⁡ (x)= 0 の解であるとする.ただし, i は虚数単位を表す.
(1) y=f⁡ (x) のグラフにおいて,点 (a, f⁡(a )) における接線の傾きを s⁡ (a) とし,点 (c, f⁡(c )) における接線の傾きを s⁡ (c) とする. a≠c のとき, s⁡( a) と s⁡ (c) の大小を比較せよ.
(2) さらに, a ,c は整数であり, b は 0 でない整数であるとする.次を証明せよ.
(ⅰ) p ,q ,r はすべて整数である.
(ⅱ) p が 2 の倍数であり, q が 4 の倍数であるならば, a ,b ,c はすべて 2 の倍数である.
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【2】 a を実数とする.傾きが m である 2 つの直線が,曲線 y= x3- 3⁢a⁢ x2 とそれぞれ点 A , 点 B で接している.
(1) 線分 AB の中点を C とすると, C は曲線 y= x3- 3⁢a⁢ x2 上にあることを示せ.
(2) 直線 AB の方程式が y= -x-1 であるとき, a ,m の値を求めよ.
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【3】 原点を O とする xy z 空間内で, x 軸上の点 A ,xy 平面上の点 B , z 軸上の点 C を,次をみたすように定める.
∠OAC=∠ OBC=θ ,∠ AOB=2⁢ θ, OC=3
ただし, A の x 座標, B の y 座標, C の z 座標はいずれも正であるとする.さらに, ▵ABC 内の点のうち, O からの距離が最小の点を H とする.また, t=tan⁡ θ とおく.
(1) 線分 OH の長さを t の式で表せ.
(2) H の z 座標を t の式で表せ.
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【4】 0 以上の整数 a1 , a2 があたえられたとき,数列 {a n} を
an+ 2= an+1 +6⁢ an
により定める.
(1) a1= 1, a2= 2 のとき, a2010 を 10 で割った余りを求めよ.
(2) a2= 3⁢a 1 のとき, an+ 4- an は 10 の倍数であることを示せ.
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【5】 n を 3 以上の自然数とする.サイコロを n 回投げ,出た目の数をそれぞれ順に X 1, X2 , ⋯, Xn とする. i=2 ,3 , ⋯, n に対して X i=X i-1 となる事象を Ai とする.
(1) A2 ,A3 , ⋯, An のうち少なくとも 1 つが起こる確率 pn を求めよ.
(2) A2 ,A3 , ⋯, An のうち少なくとも 2 つが起こる確率 qn を求めよ.