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2010 一橋大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 実数 p q r に対して, 3 次多項式 f (x) f (x) =x3 +px 2+q x+r と定める.実数 a c および 0 でない実数 b に対して, a+b i c はいずれも方程式 f (x)= 0 の解であるとする.ただし, i は虚数単位を表す.

(1)  y=f (x) のグラフにおいて,点 (a, f(a )) における接線の傾きを s (a) とし,点 (c, f(c )) における接線の傾きを s (c) とする. ac のとき, s( a) s (c) の大小を比較せよ.

(2) さらに, a c は整数であり, b 0 でない整数であるとする.次を証明せよ.

(ⅰ)  p q r はすべて整数である.

(ⅱ)  p 2 の倍数であり, q 4 の倍数であるならば, a b c はすべて 2 の倍数である.

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【2】  a を実数とする.傾きが m である 2 つの直線が,曲線 y= x3- 3a x2 とそれぞれ点 A B で接している.

(1) 線分 AB の中点を C とすると, C は曲線 y= x3- 3a x2 上にあることを示せ.

(2) 直線 AB の方程式が y= -x-1 であるとき, a m の値を求めよ.

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【3】 原点を O とする xy z 空間内で, x 軸上の点 A xy 平面上の点 B z 軸上の点 C を,次をみたすように定める.

OAC= OBC=θ AOB=2 θ OC=3

ただし, A x 座標, B y 座標, C z 座標はいずれも正であるとする.さらに, ABC 内の点のうち, O からの距離が最小の点を H とする.また, t=tan θ とおく.

(1) 線分 OH の長さを t の式で表せ.

(2)  H z 座標を t の式で表せ.

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【4】  0 以上の整数 a1 a2 があたえられたとき,数列 {a n}

an+ 2= an+1 +6 an

により定める.

(1)  a1= 1 a2= 2 のとき, a2010 10 で割った余りを求めよ.

(2)  a2= 3a 1 のとき, an+ 4- an 10 の倍数であることを示せ.

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【5】  n 3 以上の自然数とする.サイコロを n 回投げ,出た目の数をそれぞれ順に X 1 X2 Xn とする. i=2 3 n に対して X i=X i-1 となる事象を Ai とする.

(1)  A2 A3 An のうち少なくとも 1 つが起こる確率 pn を求めよ.

(2)  A2 A3 An のうち少なくとも 2 つが起こる確率 qn を求めよ.

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