2010　一橋大学　後期MathJax

【１】　$a$を正の奇数とする．次の(ⅰ)，(ⅱ)をみたす整数$b\text{，}c$の組がちょうど$3$つ存在するような最小の$a$を求めよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c$は直角三角形の$3$辺の長さである．

(ⅱ)　$a<b<c$

【２】　平面ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$は次の(ⅰ)，(ⅱ)をみたす．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-\sqrt{3}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1$

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は平行でないことを示せ．

(2)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

【３】　$a>0$とする．$xy$平面上に，$4$点

$(-8,0)\text{，}(-8,1)\text{，}(-9,1)\text{，}(-9,0)$

を頂点にもつ正方形$P$と，$4$点

$(0,-8)\text{，}(1,-8)\text{，}(1,-9)\text{，}(0,-9)$

を頂点にもつ正方形$Q$がある．正方形$P$は秒速${\displaystyle \frac{1}{a}}$で$x$軸の正の方向に$x$軸に沿って移動を始め，同時に正方形$Q$は秒速${\displaystyle \frac{1}{a^2}}$で$y$軸の正の方向に$y$軸に沿って移動を始める．

(1)　移動する$2$つの正方形$P\text{，}Q$が決して共有点をもたないような$a$の条件を求めよ．

(2)　移動する$2$つの正方形$P\text{，}Q$が，時刻$t_1$から時刻$t_2$まで共有点をもつとき$g(a)=t_2-t_1$とし，共有点をもたないときは$g(a)=0$として，関数$g(a)$を定める．定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^2}g(a)da$の値を求めよ．

【４】　赤い本が$2$冊，青い本が$n$冊ある．この$n+2$冊の本を無作為に$1$冊ずつ，本棚に左から並べていく．$2$冊の赤い本の間にある青い本の冊数を$X$とする．

(1)　$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して$x=k$となる確率を求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

【５】　$p\text{，}q$を$p<q$をみたす実数とする．実数$a\text{，}b$に対して，$2$次方程式$x^2+ax+b=0$のすべての解は$p$以上$q$以下の実数である．このような点$(a,b)$全体からなる領域を$ab$平面に図示せよ．また，その領域の面積を$p\text{，}q$の式で表せ．

【６】　放物線$y=x^2$のグラフ上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$▵\mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{B}$を直角とする直角二等辺三角形である．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とするとき，$a<b<c$をみたす．また，直線$\mathrm{BC}$の傾きを$m$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$をそれぞれ$m$の分数式で表せ．

(2)　$c-b$を最小にする$m$の値を求めよ．