2010　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　実数$a$に対し，関数

$f(x)=\cos 2x+4a\cos x+2a+5$

を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．

(3)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた$a$に対し，$f(x)=m(a)$となる$x$の値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{CA}=5$を満たしている．$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{Q}$が一直線上にあるようにとるとき，$▵\mathrm{APQ}$の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$xy$平面上の点$\mathrm{A}$を次のルール(＊)に従って動かす試行を繰り返す．

$\text{(＊)}\{\begin{array}{l}1\text{個のさいころを投げ，}\\ \text{(a)}1\text{または}2\text{の目が出たとき，}x\text{軸の正の方向に}1\text{動かす．}\\ \text{(b)}3\text{または}4\text{の目が出たとき，}y\text{軸の正の方向に}1\text{動かす．}\\ \text{(c)}5\text{または}6\text{の目が出たとき，動かさない．}\end{array}$

　$\mathrm{A}$は始め原点$\mathrm{O}$にある．直線$x+y=3$を$l$として，次の問いに答えよ．

(1)　$5$回の試行後，$\mathrm{A}$が$(2,1)$にある確率を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$に対し，$n$回の試行後，$\mathrm{A}$が$l$上にある確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$が$l$上に来たとき，または(c)が合計$2$回生じたとき，試行を終了する．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$が$l$上に来て試行が終了する確率を求めよ．

(ⅱ)　終了までの試行回数の期待値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を連続関数とするとき，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}xf(\sin x)dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(\sin x)dx$

が成り立つことを示せ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x{\sin }^{2}x}{{\sin }^{3}x+8}}dx$

の値を求めよ．

【２】　$1$個のいびつなさいころがある．$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の目が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{p}{2}}$であり，$5\text{，}6$の目が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1-2p}{2}}$である．ただし，$0<p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．このさいころを投げて，$xy$平面上の点$\mathrm{Q}$を次のように動かす．

(ⅰ)　$1$または$2$の目が出たときには，$\mathrm{Q}$を$x$軸の正の方向に$1$だけ動かす．

(ⅱ)　$3$または$4$の目が出たときには，$\mathrm{Q}$を$y$軸の正の方向に$1$だけ動かす．

(ⅲ)　$5$または$6$の目が出たときには，$\mathrm{Q}$を動かさない．

　$\mathrm{Q}$は最初原点$(0,0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，$\mathrm{Q}$が通った点（原点および$\mathrm{Q}$の最終位置の点を含む）の集合を$\mathrm{S}$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$(n+1)$回投げたとき，$\mathrm{S}$が点$(1,n-1)$を含む確率を求めよ．

(2)　さいころを$(n+1)$回投げたとき，$\mathrm{S}$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．

(3)　さいころを$(n+1)$回投げたとき，$\mathrm{S}$が点$(k,n-k)$を含むならば得点$2^k$点（$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n$）が与えられ，$\mathrm{S}$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点$0$点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<\pi$のとき，

$\sin x-x\cos x>0$

を示せ．

(2)　定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sin x-ax|dx\text{（}0<a<1\text{）}$

を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を正の実数とする．曲線

$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{{(y-b)}^2}{b^2}}=1$

は領域$D:x^2+y^2\leqq 1$に含まれている．次の問いに答えよ．

(1)　$(a,b)$が存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　$C$が囲む部分の面積が最大になるときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

【５】　各項が正の実数である数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$と関係式

$a_{n+1}-a_n=\sqrt{n}(1+{\displaystyle \frac{1}{a_n+a_{n+1}}})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)　$a_n\geqq \sqrt{n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\sqrt{k}\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}(n^{\frac{3}{2}}-1)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$a_n\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}{n}^{\frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}n-{\displaystyle \frac{1}{6}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．