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2010-10321-0101
望星塾さんの解答(PDF7頁22行目)へ
2010 新潟大学 前期
経済,人文,教育,農学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 不等式 4⁢ log4⁡ x≦log2 ⁡(4- x)+1 を解け.
(2) (1)で求めた x の範囲において,関数 y= 9x- 4⋅3 x+10 の最大値,最小値とそのときの x の値をそれぞれ求めよ.
2010-10321-0102
望星塾さんの解答(PDF8頁1行目)へ
【2】 座標平面上の放物線 y= (x+1 )⁢(x -3) を C とする. x 座標が p , q である C 上の点 P ,Q における C の 2 つの接線が点 A (a, -7) で交わり, 2 点 P , Q を通る直線の傾きは 2 である.ただし, p<q とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) a の値と点 P と点 Q の座標をそれぞれ求めよ.
(2) C および 3 つの直線 x= p, x=q ,y=- 7 で囲まれた部分の面積を求めよ.
2010-10321-0103
望星塾さんの解答(PDF9頁1行目)へ
経済,人文,教育,農,理,工,医,歯学部共通
理,工,医,歯学部は【2】
【3】 次の条件(ア)〜(ウ)を満たす数列 {pn } について考える.
(ア) p1≦ p2≦ ⋯≦p n≦ ⋯ である.
(イ) p1 ,p2 , ⋯, pn ,⋯ はどれも自然数である.
(ウ) p1 ,p2 , ⋯, pn ,⋯ の中にはすべての自然数 k が現れ,その個数は k 以上 k+ 2 以下である.
条件(ア)〜(ウ)を満たし,すべての自然数 k がちょうど k 個現れる数列
1,2, 2,3, 3,3, ⋯,k ,k,⋯ ,k⏞ k個 ,⋯
を {an } とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 項数 5 の数列で,数列 {p n} の初めの 5 項となり得るものをすべて挙げよ.
(2) 数列 {an } の第 210 項 a210 の値を求めよ.
(3) ∑ i=1 50⁡ pi のとり得る最小の値を求めよ.
2010-10321-0104
望星塾さんの解答(PDF10頁1行目)へ
理,工,医,歯学部【5】の類題
【4】 座標平面上の 4 点を A( 1,1) ,B( 1,2) ,C( 2,2) ,D( 2,1) とする.点 A に駒をおき, 1 個のさいころを投げて,出た目の数だけこれらの点の上を時計回りに駒を進める試行を考える.たとえば,出た目が 5 のとき,駒は A→ B→C →D→ A→B と進み B に止まる. 1 回目の試行で止まる点を P とし,駒を点 A に戻し, 2 回目の試行で止まる点を Q とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし, O は原点を表す.
(1) O ,P ,Q が同一直線上にある確率を求めよ.
(2) O ,P ,Q を通る 2 次関数 y= f⁡(x ) のグラフがただ一通りに定まるとき, P ,Q の位置およびその 2 次関数をすべて求めよ.
(3) O ,P ,Q が同一直線上にあるとき X= 1, また, O ,P , Q を通る 2 次関数 y= f⁡(x ) のグラフがただ一通りに定まるとき X= 2, そのどちらでもないとき X= 0 とする.このとき, X の期待値を求めよ.
2010-10321-0105
望星塾さんの解答(PDF1頁3行目)へ
理,工,医,歯学部
【1】 四面体 OABC において, OA=OB= OC=3 ,AB= BC=CA= 6 である.また,点 P は辺 AB を x: 1-x に内分し,点 Q は辺 OC を y: 1-y に内分する( 0< x<1 ,0< y<1 ). OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ として,次の問いに答えよ.
(1) 内積 a→ ·b → を求めよ.
(2) PQ→ を a→ , b→ ,c → ,x ,y で表せ.
(3) 2 点 P ,Q の間の距離 PQ の最小値と,そのときの x ,y の値を求めよ.
2010-10321-0106
望星塾さんの解答(PDF3頁1行目)へ
【3】 行列 A= ( 1-3 2 d ) は,ある実数 k に対して等式 A 2=k ⁢A を満たす.このとき,次の問いに答えよ.ただし, E=( 1 00 1 ) とする.
(1) k と d の値を求めよ.
(2) 実数 b と c が等式
(E+b ⁢A)⁢ (E+2 ⁢A)= E+c⁢ A
を満たすとき, c を b で表せ.
(3) 数列 {an } が任意の自然数 n に対して等式
(E+ 2⁢A) n=E +an ⁢A
を満たすとき, an を n で表せ.
2010-10321-0107
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【4】 F⁡(x )= ∫0x ⁡1 +e2 ⁢t ⁢dt とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底である.
(1) 1+e 2⁢t =u とおいて, F⁡(x ) を求めよ.
(2) limx→ ∞⁡ {F⁡( x)-e x} を求めよ.
2010-10321-0108
望星塾さんの解答(PDF5頁15行目)へ
経済,人文,教育,農学部【4】の類題
【5】 座標平面上の 4 点を A( 1,1) ,B( 1,2) ,C( 2,2) ,D( 2,1) とする.点 A に駒をおき, 1 個のさいころを投げて,出た目の数だけこれらの点の上を時計回りに駒を進める試行を考える.たとえば,出た目が 5 のとき,駒は A→ B→C →D→ A→B と進み B に止まる. 1 回目の試行で止まる点を P とし,駒を点 A に戻し, 2 回目の試行で止まる点を Q とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし, O は原点を表す.
(3) (2)で 2 次関数がただ一通りに定まるとき,その 2 次関数の最大値を X とし,そうでないとき X= 0 とする.このとき, X の期待値を求めよ.