2010　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域

【１】　座標平面において，円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(a,b)\text{（}0<b<1\text{）}$における接線を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{R}(4,0)$と$l$の距離が$2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標$(a,b)$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

【２】　座標空間において，中心が$\mathrm{A}(0,0,a)\text{（}a>0\text{）}$で半径が$r$の球面

$x^2+y^2+{(z-a)}^2=r^2$

は，点$\mathrm{B}(\sqrt{5},\sqrt{5},a)$と点$(1,0,-1)$を通るものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$r$と$a$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t,-1)$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABP}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& -r\\ -r& 0\end{array}\right)\text{（}r>0\text{）}$と座標平面上の点${\mathrm{P}}_0(-1,2)\text{，}{\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{，}\cdots$は，式

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$A^{2k}\text{，}{A}^{2k+1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(2)　$x_n\text{，}{y}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(3)　線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の長さを$d_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．数列$\left\{d_n\right\}$の初項$d_1$と一般項$d_n$を求めよ．また，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{d}_n$が収束し，その和が$3$となるような$r$の値を求めよ．

【４】　$a\text{（}a>0\text{）}$を定数とし，$f(x)=2a\log x-{(\log x)}^2$とする．関数$y=f(x)$のグラフは，$x$軸と点${\mathrm{P}}_1(x_1,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,0)\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$で交わっている．次の問いに答えよ．

(1)　$x_1\text{，}{x}_2$の値を求めよ．また，$y=f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点の$x$座標を$X(a)$と表すとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }X(a)$を求めよ．

(3)　$a=1$とするとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．