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2010-10361-0201
2010 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面において,円 x2 +y2 =1 上の点 P( a,b) (0 <b<1 ) における接線を l とし, l と x 軸の交点を Q とする.点 R (4, 0) と l の距離が 2 であるとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 P の座標 (a, b) を求めよ.
(2) ▵PQR の面積を求めよ.
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【2】 座標空間において,中心が A( 0,0, a)( a>0 ) で半径が r の球面
x2+ y2+ (z- a)2 =r2
は,点 B( 5, 5,a ) と点 (1, 0,-1 ) を通るものとする.次の問いに答えよ.
(1) r と a の値を求めよ.
(2) 点 P( cos⁡t, sin⁡t, -1) について,ベクトル AB → と AP → を求めよ.さらに内積 AB →⋅ AP→ を求めよ.
(3) ▵ABP の面積 S を t を用いて表せ.また, t が 0≦ t≦2⁢ π の範囲を動くとき, S の最小値と,そのときの t の値を求めよ.
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【3】 行列 A= ( 0-r -r 0 )( r> 0) と座標平面上の点 P 0( -1,2 ), P1 ( x1, y1) ,P 2( x2, y2 ), P2 (x 2,y2 ), ⋯, Pn (x n,yn ), ⋯ は,式
( xn yn ) =An ⁢( -1 2 ) (n =1, 2, 3, ⋯)
を満たすものとする.次の問いに答えよ.
(1) A2⁢ k ,A2 ⁢k+1 ( k= 1, 2, 3, ⋯) を求めよ.
(2) xn ,yn ( n=1 ,2 ,3 , ⋯) を求めよ.
(3) 線分 P n-1 Pn の長さを dn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯) とする.数列 {dn } の初項 d1 と一般項 dn を求めよ.また,無限級数 ∑n =1∞ ⁡ dn が収束し,その和が 3 となるような r の値を求めよ.
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【4】 a( a> 0) を定数とし, f⁡(x )=2⁢ a⁢log⁡ x-( log⁡x) 2 とする.関数 y= f⁡ (x) のグラフは, x 軸と点 P1 (x 1,0 ) ,P 2( x2 ,0) ( x1 <x2 ) で交わっている.次の問いに答えよ.
(1) x1 ,x2 の値を求めよ.また, y=f⁡ (x) の最大値と,そのときの x の値を求めよ.
(2) 点 P1 , P2 における y= f⁡(x ) の接線をそれぞれ l 1, l2 とする. l1 と l2 の交点の x 座標を X⁡ (a) と表すとき, lima →∞ ⁡X⁡ (a) を求めよ.
(3) a=1 とするとき, y=f⁡ (x) のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.