2010　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　次の$2$つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$l$が原点を通っているとする．

$y=m{x}^2+a\text{（}m>0\text{，}a>0\text{）}$

$y=n{x}^2+b\text{（}n<0\text{，}b<0\text{）}$

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　$m\text{，}n\text{，}a\text{，}b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　曲線$y=m{x}^2+a$と$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y=n{x}^2+b$と$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を$a\text{，}b$で表せ．

【２】　平面上に$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たしている．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\sqrt{3}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．

(2)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

【３】　ある奇数の自然数$m$から始まる連続する奇数個の自然数の和が$2010$である．$m$を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b$は等式

$x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

を満たすものとする．次の問に答えよ．

(1)　$a+b\text{，}ab$を求めよ．

(2)　複素数$\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$もこの方程式の解であることを示せ．

(3)　$2$次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて${\alpha }^2\text{，}{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}$と表されることを示せ．

【１】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で関数$f(x)=\cos x{\sin }^{2}x$と$g(x)={\cos }^{3}x$を考える．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$f(x)$が極値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．

(1)　$a+d=ad-bc=0$を示せ．

(2)　行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は同一直線上に移ることを示せ．