2010　信州大学　後期　医学部医学科MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_{2n-1}=n\text{，}{a}_{2n}=a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{24}$を求めよ．

(2)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{10000}$の中に，$6$であるものは何個あるか．

【２】　実数$x\text{，}y$が

$2x^4-2x^{3}y-3x^3+3x^{2}y-xy+y^2+x-y=0$

を満たすとき，

$x^2+y^2-4y+4$

の最小値を求めよ．

【３】　次の関数の最大値と最小値を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|t-x|\sin tdt\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

【４】　$p$を定数とする．自然数$k$に対し，点$(p,p^2)$を通る傾き$2p+{\displaystyle \frac{1}{k}}$の直線を$l_k$とし，放物線$y=x^2$と直線$l_k$で囲まれた図形の面積を$S_k$とする．このとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$1-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}<12{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k\leqq 3-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【５】　行列$A$を次のように定める．

$A={\displaystyle \frac{1}{15}}\left(\begin{array}{cc}37& 16\\ 16& 13\end{array}\right)$

また，直線$l:y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$上にない点$\mathrm{P}(a,b)$を，行列$A^n$で移した点を${\mathrm{P}}_n$とする．点${\mathrm{P}}_n$と直線$l$の距離$d_n$を，$a\text{，}b\text{，}n$の式で表せ．ただし，$n$は自然数とする．