2010　信州大学　後期　繊維学部MathJax

【１】　直線$y=x$と円${(x-2\cos \theta )}^2+y^2=1\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$について以下の問いに答えよ．

(1)　直線と円が接するときの$\theta$の値を求めよ．

(2)　直線と円が異なる$2$点（$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$）で交わるとき，$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが最大となるときの$\theta$の値と，その長さを求めよ．

【２】　次の(1)〜(2)の問いに答えよ．

(1)　媒介変数$\theta$を用いて，曲線を

$\{\begin{array}{l}x=(1+\cos \theta )\cos \theta \\ y=(1+\cos \theta )\sin \theta \end{array}$

で表した場合，この曲線の$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の点における接線の傾き${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$の値を求めよ．

【２】　次の(1)〜(2)の問いに答えよ．

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{x}{1+\sqrt{a^2-x^2}}}dx$（ただし，$a>0$）

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円の周上に頂点を持つ$▵\mathrm{ABC}$について以下の問いに答えよ．ここで，頂点$\mathrm{A}\text{，}$頂点$\mathrm{B}\text{，}$頂点$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(x_1,-y_1)\text{，}(-x_1,-y_1)\text{，}(x_2,y_2)$とする（右図参照）．ただし，$x_1+x_2\ne 0$および$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{y}_2$の値は正とする．

(1)　頂点$\mathrm{B}$と頂点$\mathrm{C}$を結ぶ直線の方程式を求めよ．

(2)　頂点$\mathrm{A}$と(1)で求めた直線との距離$d$を求め，$d$を$r$と頂点の座標を用いて表せ．

(3)　$\angle \mathrm{ACB}$を$\theta$とするとき，$r\text{，}\sin \theta \text{，}{x}_1$の間に成立する関係式を求めよ．

(4)　頂点$\mathrm{A}$と頂点$\mathrm{B}$を固定したとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$の最大値を$r$と$\theta$を用いて表せ．

【４】　曲線$y=x{(x-3)}^2$と直線$y=a^{2}x$が，原点$\mathrm{O}\text{，}$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$および点${\mathrm{P}}_2$で交わっている．ここで，線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$と線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さは等しいものとする．曲線と直線で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}{S}_2$とし，曲線と直線および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_3$とする（右図参照）．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　点${\mathrm{P}}_2$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

(4)　$S_3$の値を求めよ．