2010　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上の長方形$\mathrm{ABCD}$が次の条件(a)，(b)，(c)をみたしているとする．

(a)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点は原点$\mathrm{O}$に一致する．

(b)　直線$\mathrm{AB}$の傾きは$2$である．

(c)　$\mathrm{A}$の$y$座標は，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．

　このとき，$a>0\text{，}b>0$として，辺$\mathrm{AB}$の長さを$2\sqrt{5}a\text{，}\mathrm{BC}$の長さを $2\sqrt{5}b$とおく．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　長方形$\mathrm{ABCD}$が領域$x^2+{(y-5)}^2\leqq 100$に含まれるための$a\text{，}b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ 0& \text{（}x<0\text{）}\end{array}$

により定める．

(1)　$a\text{，}b$は実数とする．$y=ax+b$のグラフと$y=f(x)$のグラフがちょうど$2$つの交点を持つための$a\text{，}b$に対する条件を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$は実数で$p>0$とする．$y=x^3+6p{x}^2+9p^{2}x+q$のグラフと$y=f(x)$のグラフがちょうど$4$つの交点を持つための$p\text{，}q$に対する条件を求め，$pq$平面上に図示せよ．

【３】　はじめに，$\mathrm{A}$が赤玉を$1$個，$\mathrm{B}$が白玉を$1$個，$\mathrm{C}$が青玉を$1$個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の硬貨を投げ，表が出れば$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の玉を交換し，裏が出れば$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）くり返した後に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とおく．

(1)　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1\text{，}{a}_2\text{，}{b}_2\text{，}{c}_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$で表せ．

(3)　$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n=c_n$が成り立つことを示せ．

(4)　$b_n$を求めよ．

【１】　座標空間に$8$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{P}(1,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(1,1,0)\text{，}\mathrm{R}(0,1,0)\text{，}$

$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)\text{，}\mathrm{D}(0,1,1)$

をとり，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{RD}$上の点を$\mathrm{N}(0,1,t)$とし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る平面と線分$\mathrm{PD}$および線分$\mathrm{PB}$との交点をそれぞれ$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}$とする．

(1)　$\mathrm{K}$の座標を$t$で表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OKLP}$の体積を$V(t)$とする．$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{RD}$上を$\mathrm{R}$から$\mathrm{D}$まで動くとき，$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　関数$f(x)=(x^2-x)e^{-x}$について，次の問いに答えよ．必要ならば，任意の自然数$n$に対して

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$

が成り立つことを用いてよい．

(1)　$y=f(x)$のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．

(2)　$a>0$とする．点$(0,a)$を通る$y=f(x)$のグラフの接線が$1$本だけ存在するような$a$の値を求めよ．また，$a$がその値をとるとき，$y=f(x)$のグラフ，その接線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　はじめに，$\mathrm{A}$が赤玉を$1$個，$\mathrm{B}$が白玉を$1$個，$\mathrm{C}$が青玉を$1$個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の硬貨を投げ，表が出れば$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の玉を交換し，裏が出れば$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）くり返した後に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とおく．

(1)　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1\text{，}{a}_2\text{，}{b}_2\text{，}{c}_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$で表せ．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

【４】　$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．

(1)　$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x$のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．

(2)　$a\text{，}b$は実数で$a\ne 0$とする．$y=a{x}^2+bx$のグラフ上に，点$(0,0)$以外に格子点が$2$つ存在すれば，無限個存在することを示せ．