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2010-10483-0101
2010 名古屋工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 四角形 ABCD は次の条件を満たす.
(ⅰ) AB=BC= CD=1
(ⅱ) BD=1 ,∠ABD =90°
線分 AC と線分 BD との交点を E とする.線分 AB を 3 等分して,点 A に近い分点を M とし,点 B に近い分点を N とする. ∠CAB= α, ∠MDN= β とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) 線分の長さの比の値 BEDE を求めよ.
(2) tan⁡β の値を求めよ.
(3) α と β の大小を判定せよ.
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【2】 定数 a , 関数 f⁡ (x) , および数列 {xn } を次のように定める.
1<a< 2, f⁡(x )= 12⁢ (3 ⁢x2 -x3 )
x1= a, xn+ 1=f ⁡(x n) (n =1, 2, 3, ⋯)
(1) 関数 f⁡ (x) の増減を調べよ.
(2) すべての自然数 n に対して 1< xn< 2 を示せ.
(3) すべての自然数 n に対して x n+1 >xn を示せ.
(4) 次の不等式を満たす n に無関係な定数 b (0 <b<1 ) があることを示せ.
2-x n+1 ≦b⁢( 2-xn )( n= 1, 2, 3, ⋯)
(5) 数列 {xn } が収束することを示し,その極限値を求めよ.
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【3】 実数 k を 0< k<2 とし, 2 曲線
C1: y=sin⁡ 2⁢x (0 ≦x≦π )
C2: y=k⁢ cos⁡x (0 ≦x≦π )
を考える. C1 と C2 および 2 直線 x= 0, x=π で囲まれた 4 つの部分の面積の和を S⁡ (k) とする.
(1) S⁡(k ) を求めよ.
(2) S⁡(k ) の最小値とそのときの k を求めよ.
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【4】 関数 f⁡ (x)= log ⁡xx ⁢x ( x> 1) に対して次の問いに答えよ.必要ならば,自然対数の底 e の値は 2< e<3 であることを用いてよい.
(2) 曲線 y= f⁡(x ) 上の点 P( t,f⁡ (t)) における法線 l の方程式を求めよ.
(3) 点 P から x 軸に下ろした垂線を PQ とする.(2)で求めた法線 l と x 軸との交点を R とする. 2 点 Q ,R の距離の最大値を求めよ.