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2010 名古屋工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a に対して, 2 曲線

C1 y=2 log x C 2y =logx +a

の交点を P とする.点 P における C 1 の接線と C 2 の接線のなす角を θ ( 0θ< π 2) とする.

(1) 点 P の座標を求めよ.

(2)  tanθ a を用いて表せ.

(3)  a が実数全体を動くとき, tanθ のとる値の範囲を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 すべての自然数の組 ( m,n ) を次の規則に従って 1 列に並べる.

(ⅰ)  m+n< m+n ならば ( m,n ) ( m, n ) より前とする.

(ⅱ)  m+n= m+n のとき, m<m ならば ( m,n ) (m ,n ) より前とする.

このとき 1 番目から順番に数えて ( m,n ) N (m ,n) 番目にあるとする.

(1)  N( m,n) =10 となる ( m,n ) を求めよ.

(2)  N( m,1 ) m を用いて表せ.

(3)  N( m,n ) m n を用いて表せ.

(4)  N( m,n) =3 2 m n-1 を満たす ( m,n ) をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 座標空間内に 4

A ( 3,0, 5) B ( 0,3, 2) C ( 4,1, 0) D ( 5,6, 4)

をとり, 3 A B C を通る平面上に点 D から垂線 DH を下ろす.このとき次の問いに答えよ.

(1) 点 H の座標を求めよ.

(2) 次の条件を満たす点 E の座標を求めよ.

(ⅰ) 点 H は線分 AE 上にある.

(ⅱ) 四面体 ABCD の体積と四面体 ABED の体積は等しい.

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【4】 座標平面上に円 C1 x2+ y2= 1 と点 A ( 12 , 0) を考える. C1 上の点 P における接線に関して点 A と対称な点を Q とする.点 P が円 C 1 上を 1 周するときの点 Q の軌跡を C とする.点 P の座標を ( cost, sint ) とするとき,次の問いに答えよ.

(1) 点 Q の座標 ( x( t), y( t) ) を求めよ.

(2) 点 Q x 座標 x (t ) 0 tπ における増減を調べよ.

(3) 曲線 C で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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