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2010-10483-0201
2010 名古屋工業大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 実数 a に対して, 2 曲線
C1 :y=2 ⁢log⁡ x ,C 2:y =log⁡x +a
の交点を P とする.点 P における C 1 の接線と C 2 の接線のなす角を θ ( 0≦θ< π 2) とする.
(1) 点 P の座標を求めよ.
(2) tan⁡θ を a を用いて表せ.
(3) a が実数全体を動くとき, tan⁡θ のとる値の範囲を求めよ.
2010-10483-0202
【2】 すべての自然数の組 ( m,n ) を次の規則に従って 1 列に並べる.
(ⅰ) m+n< m′+n ′ ならば ( m,n ) は ( m′, n′ ) より前とする.
(ⅱ) m+n= m′+n ′ のとき, m<m ′ ならば ( m,n ) は (m ′,n′ ) より前とする.
このとき 1 番目から順番に数えて ( m,n ) は N ⁡(m ,n) 番目にあるとする.
(1) N⁡( m,n) =10 となる ( m,n ) を求めよ.
(2) N⁡( m,1 ) を m を用いて表せ.
(3) N⁡( m,n ) を m と n を用いて表せ.
(4) N⁡( m,n) =3 2⁢ m⁢ n-1 を満たす ( m,n ) をすべて求めよ.
2010-10483-0203
【3】 座標空間内に 4 点
A ( 3,0, 5) ,B ( 0,3, 2) ,C ( 4,1, 0) ,D ( 5,6, 4)
をとり, 3 点 A ,B , C を通る平面上に点 D から垂線 DH を下ろす.このとき次の問いに答えよ.
(1) 点 H の座標を求めよ.
(2) 次の条件を満たす点 E の座標を求めよ.
(ⅰ) 点 H は線分 AE 上にある.
(ⅱ) 四面体 ABCD の体積と四面体 ABED の体積は等しい.
2010-10483-0204
【4】 座標平面上に円 C1: x2+ y2= 1 と点 A ( 12 , 0) を考える. C1 上の点 P における接線に関して点 A と対称な点を Q とする.点 P が円 C 1 上を 1 周するときの点 Q の軌跡を C とする.点 P の座標を ( cos⁡t, sin⁡t ) とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 Q の座標 ( x⁡( t), y⁡( t) ) を求めよ.
(2) 点 Q の x 座標 x ⁡(t ) の 0 ≦t≦π における増減を調べよ.
(3) 曲線 C で囲まれた図形の面積 S を求めよ.