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2010-10550-0101
2010 京都工芸繊維大学 前期
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 0<θ< π 2 とする.点 O を中心とする円周上に反時計回りに並んだ 5 点 A ,B , C, D ,E があり, ∠AOB ,∠ BOC, ∠COD , ∠DOE はすべて θ に等しい. α=2 ⁢π-4 ⁢θ ,c →= OC→ , t=cos⁡ θ とする.
(1) OB→ +OD→ および OA →+ OE→ を c → と t を用いて表せ.
(2) OA→ +OB→ +OC →+ OD→+ OE→ =0→ が成り立つとき, α は θ に等しいことを示せ.
2010-10550-0102
【2】 n は 2 以上の自然数とする. 1 つの袋と 1 つの箱がある.袋には白玉 3 個と赤玉 2 個が入っており,箱には何も入っていない.次の操作を考える.
袋から玉を 1 個取り出し,白玉なら袋に戻し,赤玉なら箱に入れる.
この操作を n 回繰り返す. n 回目の操作の後,箱に入っている赤玉の個数を X とする.
(1) k を n 以下の自然数とする. k 回目の操作では赤玉を取り出し k 回目以外の n- 1 回の操作では白玉を取り出す確率を n と k を用いて表せ.次に, X=1 である確率 pn を求めよ.
(2) X=2 である確率 qn を求めよ.
(3) X の期待値 En を求めよ.また,極限 lim n→∞ ⁡ 1n⁢ log⁡(2 -En ) を求めよ.
2010-10550-0103
【3】 関数 f⁡ (t)= 2⁢(cos ⁡t-sin ⁡t) ,g⁡( t)=cos ⁡t+sin ⁡t を用いて媒介変数表示された, xy 平面上の曲線 C: x=f⁡ (t) ,y =g⁡( t) がある.点 A ( 3 4 , 3 2 ) から C 上の点 P(f ⁡(t) ,g⁡( t)) までの距離 AP の 2 乗 AP 2 を h⁡ (t) とおく.
(1) d dt ⁡h⁡( t)=0 となる t の値を 0≦ t≦2⁢ π の範囲ですべて求めよ.
(2) C は 楕だ 円であることを示せ.
(3) P が C 上を動くとき, AP を最小にする P の座標,および AP を最大にする P の座標を求めよ.
2010-10550-0104
【4】(1) 不定積分 ∫⁡ 1 1+e x ⁢dx を求めよ.
(2) 実数 a に対して定積分 ∫02 ⁡ | 1 1+e x- 1 1+ea | ⁢dx の値を S⁡ (a) とおく. a が 0≦ a≦2 の範囲を動くとき, S⁡( a) の最小値を求めよ.