2010　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,3)\text{，}\mathrm{B}(1,2)\text{，}\mathrm{C}(p,q)$がある．$2$次正方行列$L$の表す$1$次変換$f$は，$\mathrm{A}$を$\mathrm{A}$に移し，$\mathrm{B}$を$\mathrm{C}$に移す．

(1)　$L$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{C}$が$\mathrm{B}$と異なり，$f$が$\mathrm{C}$を$\mathrm{B}$に移すとき，線分$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上にあることを示せ．

【２】　$P(x)$は実数を係数とする$x$の$4$次式で，$x^4$の係数は$1$であり，次の条件(ⅰ)および(ⅱ)を満たしている．

(ⅰ)　$P(x)$とその導関数$P^{\prime }(x)$は，実数を係数とする共通の$2$次式で割り切れる．

(ⅱ)　すべての実数$x$に対して$P(x)\geqq 2$が成り立ち，$x=0$のとき等号が成り立つ．

$P(x)$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に曲線$C:y=x{e}^x$がある．$a$を正の実数とし，数列$x_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は次の条件(ⅰ)および(ⅱ)を満たしている．

(ⅰ)　$x_1=a$である．

(ⅱ)　$C$上の点$(x_n,x_n{e}^{x_n})$における接線と$x$軸の交点の$x$座標は$x_{n+1}$である．

(1)　$x_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示し，$x_{n+1}$を$x_n$の式として求めよ．

(2)　$x_{n+1}<x_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　$x_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{a}{1+a}}{x}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_{n+2}-x_{n+1}}{{(x_n)}^2}}$を求めよ．

【４】(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(\sin x)}^{3}dx$の値を求めよ．

(2)　自然数$m$に対して${\displaystyle {\int }_0^{m\pi }}{|\sin x|}^{3}dx$を$m$を用いて表せ．

(3)　自然数$n$に対して，整数$m$が$m\pi \leqq n<(m+1)\pi$を満たすとき，

${\displaystyle {\int }_{m\pi }^n}{|\sin x|}^{3}dx\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(\sin x)}^{3}dx$

および

${\displaystyle \frac{1}{\pi }}-{\displaystyle \frac{1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{m}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{\pi }}$

が成り立つことを示せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{|\sin nx|}^{3}dx$を求めよ．